Bài 44 trang 86 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 44 trang 86 SGK Toán 9 tập 2. Cho tam giác ABC vuông ở A

    Đề bài

    Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\), có cạnh \(BC\) cố định. Gọi \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm \(I\) khi \(A\) thay đổi.

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    + Tính góc \(\widehat {BIC}\) rồi kết luận theo quỹ tích cung chứa góc dựng trên đoạn BC.

    + Sử dụng: Với đoạn thẳng \(BC\) và góc \(\alpha\, \, (0^0 < \alpha < 180^0)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat{CMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn \(CB.\)

    Lời giải chi tiết

                                  

    * Dự đoán : Quỹ tích điểm I là cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC.

    * Chứng minh :

    Phần thuận : 

    Điểm A luôn nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc \(90^\circ \) nên quỹ tích điểm \(A\) là đường tròn đường kính \(BC.\)

    Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \), lại có \(BI\) là phân giác góc \(B\) và \(CI\) là phân giác góc \(C\) nên

    \(\widehat {ICB} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB};\,\widehat {IBC} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {ICB} + \widehat {IBC} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {ACB} + \widehat {ABC}} \right) = \dfrac{1}{2}.90^\circ  = 45^\circ \)

    Xét tam giác \(IBC\) có \(\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ  \Leftrightarrow \widehat {BIC} = 180^\circ  - 45^\circ  = 135^\circ \)

    Nên số đo góc \(BIC\) luôn không đổi.

    Vậy khi điểm A thay đổi trên đường tròn đường kính BC thì điểm I thay đổi và luôn nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc \(135^\circ .\)

    Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc \(135^\circ \) dựng trên đoạn BC.

    Phần đảo: 

    Chứng minh mọi điểm I thuộc cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC, đều có tam giác ABC thỏa mãn điều kiện. 

    + Lấy I trên cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC

    + Kẻ tia Bx sao cho BI là phân giác của góc CBx

    + Kẻ tia Cy sao cho CI là phân giác của góc BCy

    + Bx cắt Cy tại A.

    Khi đó I là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác ABC

    Ta có: 

    \(\begin{array}{l}
    \widehat {BAC} = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\\
    = {180^0} - 2\left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right)\\
    = {180^0} - 2\left( {{{180}^0} - \widehat {BIC}} \right)\\
    = {180^0} - {360^0} + {2.135^0}\\
    = {90^0}
    \end{array}\)

    Vậy ΔABC vuông tại A thỏa mãn đề bài. 

    Kết luận: Quĩ tích các điểm I là hai cung chứa góc \(135^\circ \) dựng trên đoạn BC.

    Xemloigiai.com

    SGK Toán lớp 9

    Giải bài tập toán lớp 9 như là cuốn để học tốt Toán lớp 9. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và hình học SGK Toán lớp 9 giúp luyện thi vào 10 hiệu quả. Giai toan 9 xem mục lục giai toan lop 9 sach giao khoa duoi day

    PHẦN ĐẠI SỐ - TOÁN 9 TẬP 1

    PHẦN HÌNH HỌC - TOÁN 9 TẬP 1

    PHẦN ĐẠI SỐ - TOÁN 9 TẬP 2

    PHẦN HÌNH HỌC - TOÁN 9 TẬP 2

    CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT

    CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

    CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN

    CHƯƠNG III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    CHƯƠNG IV. HÀM SỐ y = ax^2 (a ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

    CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

    CHƯƠNG IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU

    BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM - TOÁN 9

    Xem Thêm

    Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Âm Nhạc & Mỹ Thuật

    Đọc nhiều nhất