Bài 96 trang 112 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) chia cạnh huyền \(BC\) thành hai đoạn \(BH, CH\) có độ dài lần lượt là \(4cm, 9cm\). Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\). 

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(DE\).

b) Các đường thẳng vuông góc với \(DE\) tại \(D\) và tại \(E\) lần lượt cắt \(BC\) tại \(M\) và \(N\). Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(BH\) và \(N\) là trung điểm của \(CH\).

c) Tính diện tích tứ giác \(DENM\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \)

\(HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \)

Tứ giác \(ADHE\) có \(3\) góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra: \(AH = DE\) (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(AH\) là đường cao.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:

\(\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr 
& \Rightarrow AH = 6\,(cm) \cr} \)

Vậy \(DE = 6 (cm)\)

b) * Gọi \(G\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\)

Ta có: \(GA = GD = GH = GE\) (tính chất hình chữ nhật ADHE)

Suy ra tam giác \(GHD\) cân tại \(G\)

Ta có:

\(\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,(1)\)

\(\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,(2)\)

\(\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,(4)\)

Suy ra tam giác \(MDH\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow MD = MH\,(5)\)

Lại có: \(\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,(6)\)

\(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \) (\(∆BDH\) vuông tại \(D\)) (7)

Từ (4), (6) và (7) suy ra: \(\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\)

Suy ra tam giác \(MBD\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow MB = MD\,(8)\)

 Từ (5) và (8) suy ra: \(MB = MH\) hay \(M\) là trung điểm của \(BH\).

*Tam giác \(GHE\) cân tại \(G\) (do \(GH=GE\) (cmt))

Ta có: \(\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,(9)\)

\(\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \) (10)

\(\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (11)

Từ (9), (10) và (11) suy ra: \(\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\) (12)

Suy ra tam giác \(NEH\) cân tại \(N\) \( \Rightarrow NE = NH\) (13)

Lại có: \(\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (14)

\(\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \) (\(∆CEH\) vuông tại \(E\)) (15)

Từ (12), (14) và (15) suy ra: \(\widehat {NEC} = \widehat {NCE}\)

Suy ra tam giác \(NCE\) cân tại \(N\) \( \Rightarrow NC = NE\,(16)\)

Từ (13) và (16) suy ra: \(NC = NH\) hay \(N\) là trung điểm của \(CH\). 

c) Tam giác \(BDH\) vuông tại \(D\) có \(DM\) là đường trung tuyến nên:

\(DM = \displaystyle {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,(cm)\)

Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên

\(EN = \displaystyle {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,(cm)\)

Mà \(MD \bot DE\) và \(NE \bot DE\) nên \(MD // NE\)

Suy ra tứ giác \(DENM\) là hình thang

Vậy 

\(\eqalign{
& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr 
& = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5cm^2. \cr} \) 

Xemloigiai.com

• Bài 80 trang 119 SBT Toán 9 Tập 1
• Bài 81 trang 119 SBT toán 9 tập 1
• Bài 82 trang 120 SBT toán 9 tập 1
• Bài 83 trang 120 SBT toán 9 tập 1
• Bài 84 trang 120 SBT toán 9 tập 1
• Bài 85 trang 120 SBT toán 9 tập 1
• Bài 86 trang 120 SBT toán 9 tập 1
• Bài 87 trang 120 SBT toán 9 tập 1
• Bài 88 trang 121 SBT toán 9 tập 1
• Bài 89 trang 121 SBT toán 9 tập 1
• Bài 90 trang 121 SBT toán 9 tập 1
• Bài 91 trang 121 SBT toán 9 tập 1
• Bài 92 trang 121 SBT toán 9 tập 1
• Bài 93 trang 121 SBT toán 9 tập 1
• Bài 94 trang 122 SBT toán 9 tập 1
• Bài 95 trang 122 SBT toán 9 tập 1
• Bài 97 trang 122 SBT toán 9 tập 1
• Bài 98 trang 122 SBT toán 9 tập 1
• Bài 99 trang 122 SBT toán 9 tập 1
• Bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1
• Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1
• Bài 1.3 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1
• Bài 1.4 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1
• Bài 1.5 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1