Bài 18 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC.

    Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại trung điểm của mỗi cạnh, đồng thời mặt cầu đó đi qua trung điểm của các cạnh SA, SB, SC.

    1) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

    2) Tính diện tích mặt cầu, biết cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h.

    Giải

    1) Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC và \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Vì AB, AC là hai tiếp tuyến với mặt cầu tại \({B_2},{C_2}\) nên \(A{B_2} = A{C_2}\), suy ra AB = AC.

    Tương tự ta có BA = BC.

    Vậy AB = AC = BC, nghĩa là ABC là tam giác đều.

    Gọi O là tâm của tam giác đều ABC thì O cũng là tâm của tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\).

    Kí hiệu O1 là giao điểm của SO và \(mp({A_1}{B_1}{C_1})\) thì O1 cũng là tâm của tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) (vì phép vị tự tâm S, tỉ số \({1 \over 2}\) biến tam giác ABC thành tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\)). Do mp(\({A_1}{B_1}{C_1}\)) song song với mp(ABC) nên \({O_1}O\) đi qua tâm I của mặt cầu, đồng thời \({O_1}O\) vuông góc với cả hai mặt phẳng đó, từ đó SA=SB=SC.

    Vậy S.ABC là hình chóp đều.

    2) Dễ thấy tâm I của mặt cầu là trung điểm của \({O_1}O\) và bán kính r của mặt cầu bằng \(I{C_2}\). Ta có \(IC_2^2 = I{O^2} + OC_2^2 = {{{h^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {12}}.\)

    Vậy diện tích mặt cầu đó bằng

    \(4\left( {{{{h^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {12}}} \right)\pi  = \pi \left( {{{{h^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 3}} \right).\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất