Bài 7 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại H và SH là đường cao của hình chóp đã cho.

    1) Chứng minh rằng bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCD, S.HDA là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

    2) Gọi H1, H2, H3, H4 là hình chiếu của H lần lượt trên AB, BC, CD, DA . Chứng minh rằng hình chóp S. H1H2H3H4 có mặt cầu ngoại tiếp. Tính diện tích của thiết diện của mặt cầu ấy khi cắt bởi mp(ABCD) nếu biết H1H3 =a,\(\widehat {BAC} = \alpha ,\widehat {BDC} = \beta \)

    Giải

    1)

    Gọi I1 là trung điểm của AB và O1 là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABH thì \({I_1}{O_1}// SH\) và \({I_1}{O_1} = {1 \over 2}SH.\)

    Tương tự như trên, nếu \({I_2},{I_3},{I_4}\) thứ tự là trung điểm của BC, CD, DA và \({O_2},{O_3},{O_4}\) thứ tự là tâm của mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HBC, S.HCD, S.HDA thì

     \(\eqalign{  & {I_2}{O_2} = {1 \over 2}SH,{I_3}{O_3} = {1 \over 2}SH,  \cr  & {I_4}{O_4} = {1 \over 2}SH, \cr} \)

    và \({I_2}{O_2},{I_3}{O_3},{I_4}{O_4}\) cùng song song với SH.

    Dễ thấy \({I_1}{I_2}//{O_1}{O_2}\) và \({I_1}{I_2}//AC,\)

                 \({I_2}{I_3}//{O_2}{O_3}\) và \({I_2}{I_3}//BD,\)

                 \({I_3}{I_4}//{O_3}{O_4}\) và \({I_3}{I_4}//AC,\)

                 \({I_4}{I_1}//{O_4}{O_1}\) và \({I_4}{I_1}//BD.\)

    Kết hợp với \(AC \bot BD,\) ta có \({O_1}{O_2}{O_3}{O_4}\) là hình chữ nhật.

    2)

    Dễ thấy  \(\widehat {H{H_1}{H_2}} = \widehat {HB{H_2}} = \widehat {HBC},\)

                  \(\widehat {H{H_1}{H_4}} = \widehat {HA{H_4}} = \widehat {HAD},\)

                  \(\widehat {H{H_3}{H_2}} = \widehat {HC{H_2}} = \widehat {HCB},\)

                  \(\widehat {H{H_3}{H_4}} = \widehat {HD{H_4}} = \widehat {HDA}\)

    Từ đó

    \(\widehat {H{H_1}{H_2}} + \widehat {H{H_1}{H_4}} + \widehat {H{H_3}{H_2}} + \widehat {H{H_3}{H_4}}\)

    \(= \widehat {HBC} + \widehat {HCB} + \widehat {HAD} + \widehat {HDA} = {180^0}\)

    Vậy \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\) là tứ giác nội tiếp đường tròn. Từ đó hình chóp S. \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\) có mặt cầu ngoại tiếp.

    Diện tích thiết diện của hình cầu đó và mặt phẳng (ABCD) là diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\).

    Vì \(\widehat {BAC} = \alpha ,\widehat {BDC} = \beta \)  nên \(\widehat {{H_1}{H_4}{H_3}} = \alpha  + \beta \). Khi ấy \({{{H_1}{H_3}} \over {\sin (\alpha  + \beta )}} = 2R\) (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\)), từ đó \(R = {a \over {2\sin (\alpha  + \beta )}}.\)

    Vậy diện tích hình thu được là

    \(4\pi {R^2} = {{\pi {a^2}} \over {{{\sin }^2}(\alpha  + \beta )}}.\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất