Bài 17 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước, tìm hình chóp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Giải

Kí hiệu cạnh đáy của hình chóp là a, chiều cao là h, thể tích khối chóp là V, diện tích toàn phần là S_tp thì \(r = {{3V} \over {{S_{tp}}}}\), tức là \({S_{tp}} = {{3V} \over r}\). Vậy S_tp nhỏ nhất khi và chỉ khi V nhỏ nhất.

Mặt khác, cũng từ hệ thức \({S_{tp}} = {{3V} \over r}\), ta có hệ thức liên hệ giữa a, h và r là

\(\eqalign{  & r = {{ah} \over {a + \sqrt {{a^2} + 12{h^2}} }}\;\;\;\;(1)  \cr  & \left( {V = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{\sqrt 3 } \over {12}}{a^2}.h} \right). \cr} \)

Gọi M là trung diểm của BC và đặt \(\widehat {SMH}\) =\(\varphi \)  (đó là góc giữa mp(SBC) và mp(ABC), cũng là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp). Khi ấy

\(h = {{a\sqrt 3 } \over 6}\tan \varphi \;\;\;\;(2)\)

Thay (2) vào (1), ta có \(a = {{6r(\cos \varphi  + 1)} \over {\sqrt 3 \sin \varphi }},\) từ đó thay vào (2), ta có \(h = {{r(\cos \varphi  + 1)} \over {\cos \varphi }}\)

Suy ra \({a^2} = 12{r^2}{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }},\)

Vậy

 \(\eqalign{   V& = {{\sqrt 3 } \over {12}}.12{r^2}.{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.r.{{1 + \cos \varphi } \over {\cos \varphi }}  \cr  &  = \sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + \cos \varphi )}^2}} \over {{\rm{cos}}\varphi {\rm{(1 - cos}}\varphi {\rm{)}}}} = \sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + t)}^2}} \over {t(1 - t)}} \cr} \)

với \(0<t=cos\varphi  <1\).

Xét hàm số \(f(t) = {{{{(1 + t)}^2}} \over {t(1 - t)}},0 < t < 1,\) thì V nhỏ nhất khi và chỉ khi f(t) nhỏ nhất.

Ta có:

\(\eqalign{
 f'(t) &= {{2\left( {1 + t} \right)t\left( {1 - t} \right) - {{\left( {1 + t} \right)}^2}\left( {1 - 2t} \right)} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr
& = {{2\left( {t - {t^3}} \right) - \left( {1 - 3{t^2} - 2{t^3}} \right)} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr
& = {{3{t^2} + 2t - 1} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr} \)

\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 3}.\)

Xét bảng biến thiên sau

Vậy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t = {1 \over 3}\), tức là \(\cos \varphi  = {1 \over 3}.\) Khi đó h=4r, \(\tan \varphi  = 2\sqrt 2 ,\) từ đó \(a = 2r\sqrt 6 .\)

Vậy khi \(a = 2r\sqrt 6 \), \(h=4r\) thì diện tích toàn phần của hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất.

Xemloigiai.com

• Bài 1 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 2 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 3 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 4 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 5 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 6 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 7 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 8 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 9 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 10 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 11 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 12 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 13 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 14 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 15 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 16 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 18 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 19 trang 57 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao