Bài 8 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC có

    Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot mp(ABC),AB = c,AC = b\) , \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng mình rằng các điểm A, B, C, B1,C1 cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính của mặt cầu đó theo b, c,\(\alpha \).

    Giải

    Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó \(CD \bot AC,\) mặt khác \(CD \bot SA\), từ đó \(CD \bot mp(SAC)\), vậy \(CD \bot A{C_1}\).

    Theo giả thiết \(A{C_1} \bot SC\) nên \(A{C_1} \bot {C_1}D.\)

    Tương tự như trên, ta cũng có \(\widehat {ABD} = {90^0},\widehat {A{B_1}D} = {90^0}.\)

    Vậy AD là đường kính của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, B1, C1.

    Bán kính R của mặt cầu đó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó \({{BC} \over {\sin A}} = 2R,\) mặt khác

    \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} \) hay \(BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc.cos\alpha } ,\)

    Vậy \(R = {{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc.cos\alpha } ,} \over {2\sin \alpha }}\)

    Chú ý. Có thể chứng minh các điểm A, B, C, B1, C1 cùng thuộc một mặt cầu như sau :

    Xét các tam giác vuông SAB, SAC, ta có \(S{A^2} = SB.S{B_1},S{A^2} = SC.S{C_1},\)từ đó \(SB.S{B_1} = SC.S{C_1},\) suy ra  B, C, B1, C1 cùng thuộc một đường tròn.

    Như vậy, hình chóp A.BCC1B1 có đáy BCC1B1 có đường tròn ngoại tiếp nên hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp, tức là các điểm A, B, C, B1, C1 cùng thuộc một mặt cầu.

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất