Bài 79 trang 114 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 79 trang 114 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là một điểm chạy trên nửa đường tròn đó...

    Đề bài

    Cho nửa đường tròn đường kính \(AB.\) Gọi \(C\) là một điểm chạy trên nửa đường tròn đó. Trên \(AC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = CB.\) Qua \(A\) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy \(AE = AB\) (\(E\) và \(C\) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ \(AB\))

    \(a)\) Tìm quỹ tích điểm \(D\)

    \(b)\) Tính diện tích phần chung của hai nửa hình tròn đường kính \(AB\) và \(AE.\)

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    Ta sử dụng kiến thức:

    +) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

    +) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

    +) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

    +) Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

    +) Diện tích hình quạt tròn bán kính \(R,\) cung \(n^\circ\) được tính theo công thức: \(S=\dfrac{\pi R^2n}{360}.\)

    +) Trong đường tròn \(R,\) độ dài \(l\) của một cung \(n^\circ\) được tính theo công thức: \(l=\dfrac{\pi Rn}{180}.\)

    Lời giải chi tiết

    \(a)\) Chứng minh thuận

    Nối \(DE.\) Xét \(∆ABC\) và \(∆AED:\)

    \(AB = AE\;\; (gt)\)

    \(AD = BC \;\;(gt)\)

    \(\widehat {EAD} = \widehat {ABC}\) (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

    Suy ra: \(∆ABC = ∆EAD \;\;(c.g.c)\)

    \( \Rightarrow \widehat {EDA} = \widehat {ACB}\)

    Mà \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    \( \Rightarrow \widehat {EDA} = {90^0}\)

    Điểm \(C\) chuyển động trên nửa đường tròn đường kính \(AB\) thì điểm \(D\) luôn nhìn đoạn \(AE\) cố định dưới một góc bằng \(90^0\) nên điểm \(D\) nằm trên nửa đường tròn đường kính \(AE\) nằm trong nửa mặt phẳng bờ \(AE\) chứa nửa đường tròn đường kính \(AB.\)

    Chứng minh đảo:

    Trên nửa đường tròn đường kính \(AE\) lấy điểm \(D’\) bất kỳ, đường thẳng \(AD’\) cắt nửa đường tròn đường kính \(AB\) tại \(C’.\) Nối \(ED’, BC’.\)

    Xét \(∆AD'E\) và \(∆BC'A:\)

    \(\widehat {D'} = \widehat {C'} = {90^0}\) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    \(AE = AB\;\; (gt)\)

    \(\widehat {EAD} = \widehat {ABC'}\) (\(2\) góc cùng phụ \(\widehat {C'AB}\))

    Suy ra: \(∆AD'E = ∆BC'A\) (cạnh huyền, góc nhọn)

    \( \Rightarrow AD' = BC'\)

    Vậy khi điểm \(C\) chạy trên nửa đường tròn đường kính \(AB\) thì quỹ tích điểm \(D\) là nửa đường tròn đường kính \(AE.\)

    \(b)\)

     

    Gọi tâm hai nửa đường tròn đường kính \(AB\) và \(AE\) lần lượt là \(O\) và \(O’,\) giao điểm thứ hai của hai đường tròn là \(M\)

    Ta có: \(OA = OM = O’A = O’M\) (vì \(AB = AE\))

    Suy ra tứ giác \(AOMO’\) là hình thoi.

    Ta lại có: \(\widehat A = {90^0}\) nên tứ giác \(AOMO’\) là hình vuông

    Vậy tứ giác \(AOMO’\) là hình vuông

    Diện tích phần chung của hai nửa hình tròn bằng diện tích hai quạt tròn có cung \(\overparen{AmM}\) trừ đi diện tích hình vuông

    Diện tích hình quạt tròn \(AOM\) bằng:

    \(\displaystyle {{\pi {{\left( \displaystyle {{{AB} \over 2}} \right)}^2}.90} \over {360}} = {{\pi A{B^2}} \over {16}}\)

    Diện tích của hình vuông \(AOMO’\) bằng:

    \(\displaystyle {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} = {{A{B^2}} \over 4}\)

    Diện tích phần chung bằng:

    \(\displaystyle 2.{{\pi A{B^2}} \over {16}} - {{A{B^2}} \over 4} = {{\pi A{B^2}} \over 8} - {{2A{B^2}} \over 8}\)

    \( =\displaystyle  {{A{B^2}} \over 8}\left( {\pi  - 2} \right)\)  (đơn vị diện tích)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán lớp 9

    Giải sách bài tập đại số, hình học lớp 9 tập 1, tập 2. Giải tất cả các chương và các trang trong sách bài tập đại số và hình học với lời giải chi tiết, phương pháp giải ngắn nhất

    PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 1

    PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 1

    PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 2

    PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 2

    CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

    CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

    CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

    CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN

    CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y=ax^2 (a ≠ 0) . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

    CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

    CHƯƠNG 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU

    BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM

    Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Âm Nhạc & Mỹ Thuật

    Đọc nhiều nhất