Bài 43 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

    Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

    a) Đi qua điểm M0(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng

    x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0.

    b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z+3=0, đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0.

    c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0.

    Giải

    a) Gọi M(x;y;z) là điểm thuộc giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:

    \(\left\{ \matrix{  x - y + z = 4 \hfill \cr  3x - y + z = 1. \hfill \cr}  \right.\)

    Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ.

    Cho z=0, ta có \(\left\{ \matrix{  x - y = 4 \hfill \cr  3x - y = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {3 \over 2} \hfill \cr  y =  - {{11} \over 2}. \hfill \cr}  \right.\)

    Vậy \({M_1}( - {3 \over 2}; - {{11} \over 2};0) \in \Delta .\)

    Cho y=0, ta có \(\left\{ \matrix{  x + z = 4 \hfill \cr  3x + z = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {3 \over 2} \hfill \cr  y = {{11} \over 2}. \hfill \cr}  \right.\)

    Vậy \({M_2}\left( { - {3 \over 2};0;{{11} \over 2}} \right) \in \Delta .\)

    Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua \({M_0},{M_1},{M_2}.\)

    Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được:

    \(15x-7y+7z-16=0.\)

    b) Cách 1 : Ta thấy hệ phương trình

    \(\left\{ \matrix{  y + 2z - 4 = 0 \hfill \cr  x + y - z + 3 = 0 \hfill \cr  x + y + z - 2 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

    Có một nghiệm duy nhất là\(\left( {{1 \over 2}; - 1;{5 \over 2}} \right).\)

    Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng

    \(y+2z-4=0\) và \(x+y-z+3=0\)

    Cắt mặt phẳng \(x+y+z-2=0.\)

    Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Cách 2 : Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

    Cho z = 0, ta được \({M_1}( - 7;4;0),\) Cho y = 0, ta được \({M_2}( - 1;0;2).\)

    Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(x+y+z-2=0\) thì \(\left( \alpha  \right)\) có dạng :

    \(x + y + z + D = 0,D \ne  - 2.\)

    Ta xác định D để \({M_1},{M_2} \in \left( \alpha  \right).\) D là nghiệm của hệ :

    \(\left\{ \matrix{   - 7 + 4 + D = 0 \hfill \cr   - 1 + 2 + D = 0. \hfill \cr}  \right.\)

    Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    c) Ta tìm hai điểm \({M_1},{M_2}\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

    Gọi \(\overrightarrow {n'}  = (2;0; - 1)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-z+7=0\).

    Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua M1 và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {n'} } \right].\)

    Sau các tính toán, ta có kết quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình :

    \(x-22y+2z+21=0.\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất