Bài 52 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1}),{M_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0.\)

    Tìm điều kiện cần và đủ để :

    a) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\);

    b) Đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\);

    c) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại I sao cho M1 nằm giữa I và M2.

    d) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại I sao cho M2 nằm giữa I và M1.

    Giải

    a) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không vuông góc với \(\overrightarrow n \left( {A,B,C} \right)\) \(\overrightarrow n \) là vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\), tức là :

    \(\eqalign{  & \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\overrightarrow n  = 0\cr& \Leftrightarrow A({x_2} - {x_1}) + B({y_2} - {y_1}) + C({z_2} - {z_1}) \ne 0  \cr} \)

    b) Đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ khi có một điểm I thuộc\(\left( \alpha  \right)\) và chia đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) theo một tỉ số k<0. Gọi \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là tọa độ của điểm I, ta có :

    \({x_0} = {{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}},{x_0} = {{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}},{x_0} = {{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}}\)

    Và \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

    \( \Rightarrow A\left( {{{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}}} \right) + B\left( {{{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}}} \right) + C\left( {{{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}}} \right) + D = 0\)

    Vì k < 0 nên điều kiện trên tương đương với điều kiện

    c) \({M_1}\) nằm giữa I và \({M_2}\) \( \Leftrightarrow I\) chia đoạn \({M_1}{M_2}\) theo tỉ số k mà 0< k <1.

    Ta vẫn có điều kiện \(\left(  *  \right)\), nhưng vì 0< k <1 nên điều kiện đó tương đương với điều kiện:

    \(0 < {{A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} \over {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D}} < 1.\)

    d) Tương tự như trên, ta có điều kiện :

    \(0 < {{A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \over {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D}} < 1.\)

    Chú ý : Từ kết quả trên ta suy ra kết luận sau:

    Hai điểm \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) và \({M_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0.\) khi và chỉ khi

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất