Bài 36 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :

    Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :

    a) Đi qua ba điểm  A(-1;2;3),B(2;-4;3), C(4;5;6).

    b) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với trục Oy.

    c) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng BC với B=(0;2;-3), C=(1;-4;1).

    d) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và song song với mặt phẳng

    2x-y+3z+4=0.

    e) Đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.

    g) Đi qua điểm M0(2;-1;2),song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.

    h) Đi qua điểm M0(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng 

    \(\eqalign{
    & \left( \alpha \right):2x + y + 2z + 5 = 0 \cr
    & \left( {\alpha '} \right):3x + 2y + z - 3 = 0 \cr} \)

    Giải

    a) Cách 1: Mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là :

    \(\eqalign{  & \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].  \cr  & \overrightarrow {AB}  = (3; - 6;0),\overrightarrow {AC}  = (5;3;3) \cr&\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {\left| \matrix{   - 6 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  0 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  3 \hfill \cr  5 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  3 \hfill \cr  5 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 6 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  = ( - 18; - 9;39). \cr} \)

    Hiển nhiên \({1 \over 3}\overrightarrow n  = ( - 6; - 3;13)\) cũng là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm . Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(-1;2;3) với vec tơ pháp tuyến (-6;-3;13) nên có phương trình :

    \(-6(x+1)-3(y-2)+13(z-3)=0\)

    hay \(-6x-3y+13z-39=0.\)

    Cách 2: Mặt phẳng cần tìm có phương trình dạng :

    Ax+By+Cz+D=0.

    Vì ba điểm A, B, C nằm trên mặt phẳng đó nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng và ta có hệ :

    \(\left\{ \matrix{   - A + 2B + 3C + D = 0 \hfill \cr  2A - 4B + 3C + D = 0 \hfill \cr  4A + 5B + 6C + D = 0. \hfill \cr}  \right.\)

    \( \Rightarrow \left\{ \matrix{   - 3A + 6B = 0 \hfill \cr  2A + 9B + 3C = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  A = 2B \hfill \cr  B =  - {3 \over {13}}C. \hfill \cr}  \right.\)

    Suy ra :\(A = 2B =  - {6 \over {13}}C,D = A - 2B - 3C =  - 3C.\)

    Ta có thể chọn \(C=13\), khi đó \(A=-6, B=-3, D=-39\) và phương trình mặt phẳng cần tìm là

    \(-6x-3y+13z-39=0.\)

    b) Mặt phẳng qua M0(1;3;-2), vuông góc với trục Oy nên nó song song với mp(Oxz).

    Vậy phương trình mặt phẳng  cần tìm  là \(y=3\) (xem bài 35a).

    Ta có thể giải cách khác như sau:

    Mặt phẳng cần tìm là vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow j  = (0;1;0)\) nên có phương trình :

    \(0(x - 1) + 1.(y - 3) + 0(z + 2) = 0 \Leftrightarrow y - 3 = 0.\)

    c) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {BC}  = (1; - 6;4)\),

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:

    \(1(x-1)-6(y-3)+4(z+2)=0\)

    hay \(x-6y+4z+25=0.\)

    d) Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng : 2x-y+3z+4=0 nên phương trình có dạng

    2x-y+3z+D=0 với \(D \ne 4\). Vì M0(1;3;-2) thuộc mặt phẳng đó nên \(2.1-3+3.(-2)+D=0 \Rightarrow D = 7.\)

    Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(2x-y+3z+7=0.\)

    Ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau: Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 nên nó có một vect ơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (2; - 1;3)\).

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

    \(2(x - 1) - 1(y - 3) + 3(z + 2) = 0 \)

    \(\Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0.\)

    e) Véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng cần tìm vuông góc với hai vec tơ \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2;5)\) và \(\overrightarrow {n'}  = (2; - 1;3)\) (\(\overrightarrow {n'} \) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-y+3z+4=0\)).

    Vậy ta lấy \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| \matrix{   - 2 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  5 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  5 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{   - 1 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 2 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|} \right) \)

          \(= ( - 1;13;5).\)

    Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là:

    \(-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0\) 

    hay \(x-13y-5z+5=0.\)

    g) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 là \(\overrightarrow {n'}  = (2; - 1;3).\)

    Vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng cần tìm là :

    \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  0 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  0 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|} \right) \)

          \(= (3;0; - 2).\)

    Vậy phương trình của nó là :

    \(3x-2z-2=0.\)

    h) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) có vec tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2;1;2),\overrightarrow {n{'_\alpha }}  = (3;2;1).\)

    Mặt phẳng cần tìm vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) nên có vec tơ pháp tuyến là

    Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là:

    \(-3(x+2)+4(y-3)+1(z-1)\)

    hay \(3x-4y-z+19 = 0.\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất