Bài 4 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng có chiều cao h không đổi, đáy là tứ diện ABCD, trong đó A, B, C, D thay đổi và \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID}  =  - {h^2},\) với I là giao điểm của hai đường chéo. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

Lời giải chi tiết

Vì \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} \) nên ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn .

Mặt khác, hình lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên hình lăng trụ đó có mặt cầu ngoại tiếp.

Kí hiệu O, O’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD và A’B’C’D’ của hình lăng trụ và gọi J là trung diểm của OO’ thì J là tâm mặt cầu phải tìm và bán kính của  mặt cầu là JA.

Mặt khác \(J{A^2} = J{O^2} + A{O^2} = {{{h^2}} \over 4} + A{O^2}.\)

Từ đó, bán kính mặt cầu đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \({h^2} =  - \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC}  =  - \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID}  = A{O^2} - I{O^2}.\)

\( \Rightarrow A{O^2} = {h^2} + I{O^2}\)

Từ đó, \(A{O^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi IO nhỏ nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(O \equiv I,\) lúc đó \(A{O^2} = {h^2}\) và giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bằng \(J{A^2} = {{h\sqrt 5 } \over 2}.\)

Xemloigiai.com

• Bài 1 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 2 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 3 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 5 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 6 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 7 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 8 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 9 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 10 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 11 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 12 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 13 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 14 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 15 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 16 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 17 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 18 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 19 trang 57 SBT Hình học 12 Nâng cao