Bài 5 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng qua cạnh BC và vuông góc với mp(ABC). Gọi (C) là đường tròn đường kính BC trong mp(P) và S là điểm bất kì thuộc (C). Khi S thay đổi trên (C), chứng minh rằng :

LG a

\(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}\) không đổi

Lời giải chi tiết:

Vì \(\widehat {BSC} = \)  \({90^ \circ }\) nên \(S{B^2} + S{C^2} = B{C^2} = {a^2}.\)

Gọi H là trung điểm của BC thì

\(SH = {1 \over 2}BC = {a \over 2}\) và \(AH \bot BC.\)

Mặt khác, \(\left( P \right) \bot mp\left( {ABC} \right)\) và cắt mặt phẳng này theo giao tuyến BC nên \(AH \bot (P).\)

Từ đó \(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{3{a^2}} \over 4} = {a^2}.\)

Vậy \(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\)

LG b

Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là điểm cố định ( nếu S khác B, C).

Lời giải chi tiết:

Vì HB = HC = HS, \(AH \bot mp(SBC)\) nên đường thẳng AH là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\).

Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC thuộc AH. Mặt khác, ABC là tam giác đều nên tâm mặt cầu đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Điều ấy khẳng định rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là cố định.

Xemloigiai.com

• Bài 1 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 2 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 3 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 4 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 6 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 7 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 8 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 9 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 10 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 11 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 12 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 13 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 14 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 15 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 16 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 17 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 18 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 19 trang 57 SBT Hình học 12 Nâng cao