Bài 10 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu bán kính r tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.

LG a

Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

Lời giải chi tiết:

Vì các cạnh của hình chóp tiếp xúc với mặt cầu nên

SA+BC = SB+AC = SC+AB

Mặt khác , tâm I của mặt cầu thuộc đường cao SH nên dễ thấy  \(\widehat {ISA} = \widehat {ISB} = \widehat {ISC},\) tức là \(\widehat {HSB} = \widehat {HSA} = \widehat {HSC},\) từ đó SA=SB=SC.

Vậy AB = BC = CA, từ đó S.ABC là hình chóp đều.

LG b

Tính đường cao của hình chóp biết rằng \({\rm{IS = r}}\sqrt 3 .\)

Lời giải chi tiết:

Đặt SH = h.

Gọi M là trung điểm của BC thì mp(SAM) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này tiếp xúc với SA tại A₁, đi qua điểm M và cắt AM tại M₁, dễ thấy AM₁ = M₁H = HM.

Vì \(\Delta S{A_1}I \sim \Delta SHA\) nên \({{{A_1}I} \over {SI}} = {{AH} \over {SA}},\)

Từ đó \({r \over {r\sqrt 3 }} = {{AH} \over {\sqrt {{h^2} + A{H^2}} }}.\)

Từ AH = 2M₁H suy ra

\(\eqalign{  & A{H^2} = 4{M_1}{H^2} = 4(IM_1^2 - I{H^2}).  \cr  &  = 4\left[ {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} \right]. \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{  & {1 \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} } \over {\sqrt {{h^2} + 4\left[ {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} \right]} }}  \cr  &  \Leftrightarrow 9{h^2} - 16rh\sqrt 3  + 16{r^2} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow h = {{4r} \over {\sqrt 3 }}(do\;\,h > {\rm{IS > r)}}{\rm{.}} \cr} \)

Xemloigiai.com

• Bài 1 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 2 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 3 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 4 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 5 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 6 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 7 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 8 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 9 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 11 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 12 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 13 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 14 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 15 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 16 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 17 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 18 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 19 trang 57 SBT Hình học 12 Nâng cao