Lí thuyết nguyên hàm

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

    1. Nguyên hàm và tính chất

    a. Định nghĩa

    Kí hiệu \(K\) là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của \(R\).

    Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\).

    Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x ∈ K\).

    b. Định lý

    1) Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G(x) = F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\).

    2) Ngược lại, nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x) + C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.

    Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(∫f(x)dx\)

    Khi đó : \(∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.\)

    c. Tính chất của nguyên hàm

    \(∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.\)

    \(∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx \)(với k là hằng số khác 0)

    \(∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx\)

    d. Sự tồn tại nguyên hàm

    Định lí: Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(K\) đều có nguyên hàm trên \(K\).

    Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

    Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

     Nguyên hàm của hàm hợp

     \(\int 0dx = C\)

    \(\int dx = x + C\)

    \(\int x^{\alpha }dx\) = \(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} +C\)    (\(\alpha≠  -1)\)

    \(\int \frac{1}{x}dx =ln\left | x \right | +C\)

    \(\int e^{x}dx = e^{x} +C\)

    \(\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{lna} + C (a>0, a ≠ 1)\)

    \(\int cosxdx = sinx + C\)

    \(\int sinxdx = - cosx + C\)

    \(\int \frac{1}{(cos^{2}x)}dx = tanx + C\)

    \(\int \frac{1}{(sin^{2}x)}dx = - cotx + C\)

     

     

    \(\int u^{\alpha }dx = \frac{u^{\alpha +1}}{u'.(\alpha +1)}+ C\)

    \(\int {\frac{1}{u}} dx = \frac{{ln|u|}}{{u'}} + C\)

    \(\int {{e^u}} dx = \frac{{{e^u}}}{{u'}} + C\)

    \(\int {{a^u}} dx = \frac{{{a^u}}}{{u'.lna}} + C\)

    \(\int {cosudx = \frac{{sinu}}{{u'}} + C} \)

    \(\int {sinudx = {\rm{ }}\frac{{ - cosu}}{{u'}}{\rm{ }} + C} \)

    \(\int {\frac{1}{{(co{s^2}u)}}} du = {\rm{ }}\frac{{tanu}}{{u'}} + C\)

    \(\int {\frac{1}{{(si{n^2}u)}}} du = \frac{{ - cotu}}{{u'}} + C\)

    2. Phương pháp tìm nguyên hàm

    a) Phương pháp đổi biến số

    Định lý 1: Nếu \(\int {f\left( u \right)du}  = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx}  = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)

    Hệ quả: \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx}  = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)\)

    b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

    Định lý 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(y = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} \).

    Chú ý: Viết gọn \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \).

    Xemloigiai.com

    SGK Toán lớp 12

    Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day

    GIẢI TÍCH 12

    HÌNH HỌC 12

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

    CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Xem Thêm

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất