Giải bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12
LG a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\displaystyle (C)\) của hàm số \(\displaystyle y = {{x + 3} \over {x + 1}}.\)
Phương pháp giải:
Khảo sát và vẽ đồ thi qua các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \(\displaystyle y = {{x + 3} \over {x + 1}}\)
Tập xác định : \(\displaystyle D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)
* Sự biến thiên:
\(\displaystyle y' = {{ - 2} \over {{{(x + 1)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;-1)\) và \(\displaystyle (-1;+\infty)\)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1 \cr} \)
Tiệm cận đứng: \(\displaystyle x = -1.\)
Tiệm cận ngang: \(\displaystyle y = 1.\)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao \(\displaystyle Ox\) tại \(\displaystyle (-3;0)\), giao \(\displaystyle Oy\) tại \(\displaystyle (0;3)\)
Đồ thị hàm số nhận điểm \(\displaystyle I(-1;1)\) làm tâm đối xứng.
LG b
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(\displaystyle m\), đường thẳng \(\displaystyle y = 2x + m\) luôn cắt \(\displaystyle (C)\) tại hai điểm phân biệt \(\displaystyle M\) và \(\displaystyle N.\)
Phương pháp giải:
Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt khác \(\displaystyle -1\) với mọi \(\displaystyle m.\)
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng (d): \(\displaystyle y = 2x + m\) (1)
\(\displaystyle \eqalign{
& {{x + 3} \over {x + 1}} = 2x + m \Leftrightarrow x + 3 = (2x + m)(x + 1) \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m - 3 = 0,x \ne - 1 \cr} \)
\(\displaystyle Δ = (m+1)^2– 4.2(m-3) \\ = m^2+2m+1-8m+24 \\= m^2– 6m + 25\\ = (m-3)^2+ 16> 0 \)
\(\displaystyle \Rightarrow \) (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Lại có: \(\displaystyle f\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 1} \right) + m - 3 = - 2 \ne 0\) hay phương trình (1) có nghiệm khác \(\displaystyle -1\).
Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác \(\displaystyle -1\) với mọi \(\displaystyle m.\)
Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(\displaystyle M, N\) (hoành độ của \(\displaystyle M, N\) chính là nghiệm của (1)).
LG c
c) Xác định m sao cho độ dài \(\displaystyle MN\) là nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Với hai điểm \(\displaystyle M\) và \(\displaystyle N\) tìm được ở câu trên, tính độ dài đoạn thẳng \(\displaystyle MN\) theo công thức: \(\displaystyle MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}} = \sqrt {f\left( x \right)} .\)
+) Khảo sát và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\displaystyle y=f(x)\) từ đó suy ra độ dài nhỏ nhất của \(\displaystyle MN.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\displaystyle M\left( {{x_M};\;{y_M}} \right)\) và \(\displaystyle N\left( {{x_N};\;{y_N}} \right)\) là hai giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường tahnwgr \(\displaystyle y=2x+m.\)
Theo định lí Vi-et ta có:\(\displaystyle \left\{ \matrix{{x_M} + {x_N} = - {{m + 1} \over 2} \hfill \cr {x_M}.{x_N} = {{m - 3} \over 2} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
M{N^2} = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - {y_N}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {\left[ {2{x_M} + m - \left( {2{x_N} + m} \right)} \right]^2}\\
= {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + 4{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\
= 5{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\
= 5\left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} - 4{x_M}{x_N}} \right]\\
= 5\left[ {{{\left( { - \frac{{m + 1}}{2}} \right)}^2} - 4.\frac{{m - 3}}{2}} \right]\\
= 5\left( {\frac{{{m^2} + 2m + 1}}{4} - 2m + 6} \right)\\
= 5.\frac{{{m^2} - 6m + 25}}{4} \\ = \frac{5}{4}\left[ {\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) + 16} \right]\\
= \frac{5}{4}\left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 16} \right].
\end{array}\)
Ta có: \(\displaystyle {\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0\;\forall \;m \Rightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} + 16 \ge 16\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Rightarrow M{N^2} \ge \frac{5}{4}.16 = 20.\\
\Rightarrow MN \ge 2\sqrt 5 .
\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra \(\displaystyle \Leftrightarrow m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3.\)
Vậy độ dài \(\displaystyle MN\) nhỏ nhất bằng \(\displaystyle 2\sqrt5\) khi \(\displaystyle m=3.\)
LG d
d) Tiếp tuyến tại một điểm \(\displaystyle S\) bất kì của \(\displaystyle (C)\) luôn cắt hai tiệm cận của \(\displaystyle (C)\) tại \(\displaystyle P\) và \(\displaystyle Q\). Chứng minh rằng \(\displaystyle S\) là trung điểm của \(\displaystyle PQ\).
Phương pháp giải:
Gọi \(\displaystyle S(x_0;\, y_0)\) là 1 điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số \(\displaystyle (C).\) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(\displaystyle S\) là: \(\displaystyle \Delta: \, y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)
+) Tìm các giao điểm \(\displaystyle P, \, \, Q\) của tiếp tuyến \(\displaystyle \Delta\) với các đường tiệm cận.
+) Khi đó \(\displaystyle S\) là trung điểm của \(\displaystyle PQ\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{{x_P} + {x_Q}}}{2}\\{y_0} = \frac{{{y_P} + {y_Q}}}{2}\end{array} \right..\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(\displaystyle S(x_0;y_0)\) là điểm bất kì thuộc (C)
Phương trình tiếp tuyến \(\displaystyle Δ\) của (C) tại \(\displaystyle S\) là:
\(\displaystyle \eqalign{
& y - y_0 = y'({x_0})(x - {x_0}) \cr
& \Leftrightarrow y = {{ - 2} \over {{{({x_0} + 1)}^2}}}(x - {x_0}) + {{{x_0} + 3} \over {{x_0} + 1}} \cr} \)
Tiệm cận đứng: \(\displaystyle x=-1\) và tiệm cận ngang: \(\displaystyle y=1.\)
Giả sử \(\displaystyle Δ\) cắt tiệm cận ngang tại \(\displaystyle P(x_P; 1)\). Khi đó:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {{x_P} - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} + 1}} = 1\\
\Leftrightarrow - 2{x_P} + 2{x_0} + x_0^2 + 4{x_0} + 3 = x_0^2 + 2{x_0} + 1\\
\Leftrightarrow - 2{x_P} = - 4{x_0} - 2\\
\Leftrightarrow {x_P} = 2{x_0} + 1\\
\Rightarrow P\left( {2{x_0} + 1;\;1} \right).
\end{array}\)
\(\displaystyle Δ\) cắt tiệm cận đứng tại \(\displaystyle Q( - 1; y_Q).\) Khi đó:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( { - 1 - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} + 1}} = {y_Q}\\
\Leftrightarrow 2 + 2{x_0} + x_0^2 + 4{x_0} + 3 = {y_Q}{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow x_0^2 + 6{x_0} + 5 = {y_Q}{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} + 5} \right) = {y_Q}{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {y_Q} = \frac{{{x_0} + 5}}{{{x_0} + 1}}.\\
\Rightarrow Q\left( { - 1;\;\frac{{{x_0} + 5}}{{{x_0} + 1}}} \right)
\end{array}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_P} + {x_Q} = 2{x_0} + 1 - 1 = 2{x_0} = 2{x_S}\\
{y_P} + {y_Q} = 1 + \frac{{{x_0} + 5}}{{{x_0} + 1}} = \frac{{2{x_0} + 6}}{{{x_0} + 1}} = \frac{{2\left( {{x_0} + 3} \right)}}{{{x_0} + 1}} = 2{y_0} = 2{y_S}.
\end{array} \right.\)
Vậy \(\displaystyle S\) là trung điểm của \(\displaystyle PQ\).
Xemloigiai.com
- Giải bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 1 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 5 trang 47 SGK Giải tích 12
- Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
- Các dạng toán về hàm phân thức có tham số
- Các dạng toán về tương giao đồ thị
- Các dạng toán về tiếp tuyến, sự tiếp xúc của hai đường cong
- Tổng hợp lí thuyết chương 1
SGK Toán lớp 12
Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day
GIẢI TÍCH 12
- CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Bài 2. Cực trị của hàm số
- Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Bài 4. Đường tiệm cận
- Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- Bài 1. Lũy thừa
- Bài 2. Hàm số lũy thừa
- Bài 3. Lôgarit
- Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
- Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
- Ôn tập Chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- Bài 1. Nguyên hàm
- Bài 2. Tích phân
- Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
- Ôn tập Chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- Bài 1. Số phức
- Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
- Bài 3. Phép chia số phức
- Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
- Ôn tập Chương IV - Số phức
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
- Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
- Ôn tập chương I - Khối đa diện
CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
- Bài 2. Phương trình mặt phẳng
- Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
- Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 12
- SBT Địa lí lớp 12
- SGK Địa lí lớp 12
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 12
- SBT Lịch sử lớp 12
- SGK Lịch sử lớp 12