Các dạng toán về tiếp tuyến, sự tiếp xúc của hai đường cong
1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right)\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right) \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right)\).
- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)
- Bước 3: Kết luận.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).
- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0}\) của \(\left( C \right)\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
- Bước 3: Thay tọa độ \(\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) vào phương trình trên, giải phương trình tìm \({x_0}\).
- Bước 4: Thay mỗi giá trị \({x_0}\) tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết nó có hệ số góc \(k\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).
- Bước 2: Giải phương trình \(f'\left( x \right) = k\) tìm nghiệm \({x_1},{x_2},...\).
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm \(\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right),\left( {{x_2};f\left( {{x_2}} \right)} \right),...\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết nó có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).
- Bước 2: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của \(f'\left( x \right)\) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến và hoành độ tiếp điểm (là giá trị mà \(f'\left( x \right)\) đạt GTNN, GTLN).
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vừa tìm được.
a) Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.
b) Cho hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\).
+) Khi \(a > 0\) thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi \(a < 0\) thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) có hệ số góc lớn nhất.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).
- Bước 2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa tiếp tuyến có hệ số góc \(k = f'\left( x \right)\) với đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k'\).
+ Tiếp tuyến vuông góc \(d \Leftrightarrow k.k' = - 1\).
+ Tiếp tuyến song song với \(d \Leftrightarrow k = k'\).
+ Góc tạo bởi tiếp tuyến của \((C)\) với \(d\) bằng \(\alpha \Leftrightarrow \tan \alpha = \left| {\dfrac{{{k} - {k'}}}{{1 + {k}{k'}}}} \right|\)
- Bước 3: Giải phương trình ở trên tìm nghiệm \({x_1},{x_2},...\) và tọa độ các tiếp điểm.
- Bước 4: Viết phương trình các tiếp tuyến tại các tiếp điểm vừa tìm được.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm \(m\) để tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thuộc \(\left( C \right)\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)
- Bước 2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài:
Tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \Leftrightarrow pt{\rm{ }}{y_M} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {{x_M} - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\) có nghiệm.
- Bước 3: Tìm điều kiện của \(m\) dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.
2. Sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số
Cho \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và \(\left( {C'} \right):y = g\left( x \right)\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(f'\left( x \right),g'\left( x \right)\).
- Bước 2: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\).
- Bước 3: Kết luận:
+ Nếu hệ có nghiệm thì \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc.
+ Nếu hệ vô nghiệm thì \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) không tiếp xúc.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(f'\left( x \right),g'\left( x \right)\).
- Bước 2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc:
\(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
- Bước 3: Tìm \(m\) từ điều kiện trên và kết luận.
- Giải bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 1 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 5 trang 47 SGK Giải tích 12
- Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
- Các dạng toán về hàm phân thức có tham số
- Các dạng toán về tương giao đồ thị
- Tổng hợp lí thuyết chương 1
SGK Toán lớp 12
Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day
GIẢI TÍCH 12
- CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Bài 2. Cực trị của hàm số
- Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Bài 4. Đường tiệm cận
- Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- Bài 1. Lũy thừa
- Bài 2. Hàm số lũy thừa
- Bài 3. Lôgarit
- Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
- Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
- Ôn tập Chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- Bài 1. Nguyên hàm
- Bài 2. Tích phân
- Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
- Ôn tập Chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- Bài 1. Số phức
- Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
- Bài 3. Phép chia số phức
- Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
- Ôn tập Chương IV - Số phức
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
- Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
- Ôn tập chương I - Khối đa diện
CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
- Bài 2. Phương trình mặt phẳng
- Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
- Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 12
- SBT Địa lí lớp 12
- SGK Địa lí lớp 12
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 12
- SBT Lịch sử lớp 12
- SGK Lịch sử lớp 12