Giải bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) có đồ thị là \((C_m)\), \(m\) là tham số.
LG a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\)
Phương pháp giải:
* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
* Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm \(y’\)
+ Tại các điểm đó đạo hàm \(y’\) bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm \(y’\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\) thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \(Ox\)
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Lời giải chi tiết:
\(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) \((C_m)\). Đây là hàm số bậc hai, có đồ thị là parabol, bề lõm quay lên trên.
a) Với \(m = 1\) ta có hàm số: \(y = 2x^2+ 2x.\)
Tập xác định \(D =\mathbb R\)
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=4x+2.\)
\(\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac {-1} {2} \)
+) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \dfrac {-1} {2};+\infty \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty; \dfrac {-1} {2}\right)\)
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x= \dfrac {-1} {2}\); \(y_{CT}= \dfrac {-1} {2}\)
+) Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((0;0)\)
Cắt \(Oy\) tại \((0;0).\)
LG b
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\)
- Có cực trị trên khoảng \((-1, +∞)\)
Phương pháp giải:
+) Hàm số đồng biến trên \( (a; \, b) \Leftrightarrow y' > 0\;\;\forall x \ne \left( {a;\;b} \right).\)
+) Hàm số nghịch biến trên \( (a; \, b) \Leftrightarrow y' < 0\;\;\forall x \ne \left( {a;\;b} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Tổng quát \(y = 2x^2+ 2mx + m -1\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)
Có \(y' = 4x + 2m = 0 \Rightarrow y'=0 \)
\(\Leftrightarrow 4x+2m=0 \Leftrightarrow x = \dfrac {-m} {2}\)
Suy ra \(y’ >\) 0 với \(x > \dfrac {-m} {2};y' < 0\) với \(x < \dfrac {-m} {2}\) , tức là hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; \dfrac {-m} {2})\) và đồng biến trên \(( \dfrac {-m} {2}; + \infty )\)
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\) thì phải có điều kiện \(( - 1;{\rm{ }} + \infty ) \subset ( \dfrac {-m} {2}; + \infty )\)
\( \Leftrightarrow \dfrac {-m} {2} \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\)
ii) Hàm số đạt cực trị tại \(x = \dfrac {-m} {2}\) .
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \((-1; +∞)\), ta phải có:
\(\eqalign{
& \dfrac {-m} {2} \in ( - 1, + \infty ) \cr
& \Leftrightarrow \dfrac {-m} {2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > \dfrac {m} {2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} \)
LG c
c) Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số \((C_m)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow y=f(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Lời giải chi tiết:
\((C_m)\) luôn cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(x = \dfrac {-m} {2}\)
\(⇔\) phương trình \(2x^2+ 2mx + m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: \(Δ’ = m^2– 2m + 2 \) \(= (m-1)^2+ 1 > 0, \, ∀m\)
Vậy \((C_m)\) luôn cắt \(O x\) tại hai điểm phân biệt.
Cách khác
Nhận thấy: \( - \dfrac{{{m^2}}}{2} + m - 1\)\( = - \dfrac{1}{2}\left( {{m^2} - 2m + 2} \right)\)\( = - \dfrac{1}{2}{\left( {m - 1} \right)^2} - \dfrac{1}{2} < 0\) với mọi m.
Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi \(m\).
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng \(y = 0\) (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).
Xemloigiai.com
- Giải bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12
- Giải bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12
- Giải bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 1 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 47 SGK Giải tích 12
- Giải bài 5 trang 47 SGK Giải tích 12
- Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
- Các dạng toán về hàm phân thức có tham số
- Các dạng toán về tương giao đồ thị
- Các dạng toán về tiếp tuyến, sự tiếp xúc của hai đường cong
- Tổng hợp lí thuyết chương 1
SGK Toán lớp 12
Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day
GIẢI TÍCH 12
- CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Bài 2. Cực trị của hàm số
- Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Bài 4. Đường tiệm cận
- Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- Bài 1. Lũy thừa
- Bài 2. Hàm số lũy thừa
- Bài 3. Lôgarit
- Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
- Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
- Ôn tập Chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- Bài 1. Nguyên hàm
- Bài 2. Tích phân
- Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
- Ôn tập Chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- Bài 1. Số phức
- Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
- Bài 3. Phép chia số phức
- Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
- Ôn tập Chương IV - Số phức
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
- Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
- Ôn tập chương I - Khối đa diện
CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
- Bài 2. Phương trình mặt phẳng
- Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
- Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 12
- SBT Địa lí lớp 12
- SGK Địa lí lớp 12
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 12
- SBT Lịch sử lớp 12
- SGK Lịch sử lớp 12