Bài 79 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD.

    LG a

    Tính khoảng cách từ đỉnh A tới mặt phẳng (BCM) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, CN.

    Lời giải chi tiết:

     Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là điểm A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa SA (h. 104).

    Khi đó

    \(\eqalign{  & A = \left( {0;0;0} \right),B = \left( {a;0;0} \right),  \cr  & C = \left( {a;a;0} \right),D = \left( {0;a;0} \right),  \cr  & S = \left( {0;0;2a} \right),M\left( {0;0;a} \right),  \cr  & N = \left( {0;{a \over 2};a} \right). \cr} \)

    \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0;a;0} \right),\)

    \(\overrightarrow {BM}  = \left( { - a;0;a} \right)\)

    \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BM} } \right] = \left( {\left| {\matrix{   a & 0  \cr   0 & a  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   0 & 0  \cr   a & { - a}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   0 & a  \cr   { - a} & 0  \cr  } } \right|} \right)\)

                                 \(= \left( {{a^2};0;{a^2}} \right).\)

    Do đó, mặt phẳng (BCM) có vectơ pháp tuyến là (1; 0; 1), suy ra phương trình mặt phẳng (BCM) là:

    \(1\left( {x - a} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z -a= 0.\)

    Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCM)

            \(d\left( {A,\left( {BCM} \right)} \right) = {{\left| { - a} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = {a \over {\sqrt 2 }}.\)

    Ta lại có: \(\overrightarrow {BS}  = \left( { - a;0;2a} \right),\overrightarrow {CN}  = \left( { - a; - {a \over 2};a} \right),\)

    \(\overrightarrow {SC}  = \left( {a;a; - 2a} \right).\)

    Suy ra

    \(\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right] \)

    \(= \left( {\left| {\matrix{   0 & {2a}  \cr   { - {a \over 2}} & a  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   {2a} & { - a}  \cr   a & { - a}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   { - a} & 0  \cr   { - a} & { - {a \over 2}}  \cr  } } \right|} \right) \)

    \(= \left( {{a^2}; - {a^2};{{{a^2}} \over 2}} \right)\)

    \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {SC}  = {a^3} - {a^3} - {a^3} =  - {a^3}.\)

    Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CN là

    \(d\left( {SB,CN} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {CN} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right]} \right|}} \)

                           \(= {{\left| { - {a^3}} \right|} \over {\sqrt {{a^4} + {a^4} + {{{a^4}} \over 4}} }} = {{{a^3}} \over {{{3{a^2}} \over 2}}} = {{2a} \over 3}.\)

    LG b

    Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).

    Lời giải chi tiết:

    Vì \(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;2{a^2};{a^2}} \right)\) nên mp(SCD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {0;2;1} \right).\)

    Vì \(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {2{a^2};0;{a^2}} \right)\) nên mp(SBC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {2;0;1} \right).\)

    Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC), ta có

            \(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = {{\left| { - 1} \right|} \over {\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = {1 \over 5}.\)

    LG c

    Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp S.ABCD chia bởi mặt phẳng (BCM).

    Lời giải chi tiết:

    \({V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{a^2}.2a = {2 \over 3}{a^3}.\)

    Vì M là trung điểm của SA suy ra \(d\left( {S,\left( {BCM} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCM} \right)} \right) = {a \over {\sqrt 2 }}.\)

    Hình chóp S.ABCD bị mp(BCM) chia làm 2 phần, trong đó có một phần là hình chóp S.BCNM. Hình chóp này có đường cao bằng \(d\left( {S,\left( {BCM} \right)} \right) = {a \over {\sqrt 2 }}\) và đáy là hình thang BCNM có diện tích bằng \({1 \over 2}\left( {a + {a \over 2}} \right)a\sqrt 2  = {{3\sqrt 2 {a^2}} \over 4}.\)

    Suy ra: \({V_{S.BCNM}} = {1 \over 3}.{{3\sqrt 2 {a^2}} \over 4}.{a \over {\sqrt 2 }} = {{{a^3}} \over 4}.\)

    Vậy tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp S.ABCD chia bởi mp(BCM) là: \({{{{{a^3}} \over 4}} \over {{{2{a^3}} \over 3} - {{{a^3}} \over 4}}} = {3 \over 5}.\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán lớp 12 Nâng cao

    Giải sách bài tập toán hình học và giải tích lớp 12. Giải chi tiết tất cả câu hỏi trong các chương và bài chi tiết trong SBT hình học và đại số toán 12 nâng cao với cách giải nhanh và ngắn gọn nhất

    GIẢI TÍCH SBT 12 NÂNG CAO

    HÌNH HỌC SBT 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG 1: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG 2: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất