Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

    Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng \((BCD)\).

    LG a

    a) Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Tính độ dài đoạn \(AH\).

    Phương pháp giải:

    + Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD\) và suy ra \(HB = HC = HD\).

    + Sử dụng định lí Pitago tính độ dài đoạn \(AH\).

    Lời giải chi tiết:

    Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có \(6\) cạnh đều bằng nhau.

    Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên mp \(BCD\)

    Xét ba tam giác \(ABH, ACH\) và \(ADH\) có:

    \(AB= AC = AD\) ( vì \(ABCD\) là tứ diện đều).

    \(AH\) chung

    \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = \widehat {AHD} = {90^0}\)

     \( \Rightarrow \Delta \,ABH = {\rm{ }}\Delta \,ACH\,{\rm{ =  }}\Delta \,ADH\) ( ch- cgv)

    Suy ra, \(HB = HC = HD\) .

    Vậy \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD.\)

    Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

    Do \(\Delta BCD\) đều nên \(BI  = BC\sin {60^0}= \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

    \( \displaystyle \Rightarrow BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}\);

    Do tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên : 

    \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\) \(\displaystyle={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {\displaystyle 2 \over 3}{a^2}\).

    Vậy \(\displaystyle AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\)


    LG b

    b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH\).

    Phương pháp giải:

    Sử dụng các công thức diện tích xung quanh và thể tích khối trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,V = \pi {r^2}h\), trong đó \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

    Lời giải chi tiết:

    Vì tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(\displaystyle r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\), cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

    \(\displaystyle S = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt).

    Thể tích khối trụ là: \(\displaystyle V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đttt)

    Xemloigiai.com

    SGK Toán lớp 12

    Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day

    GIẢI TÍCH 12

    HÌNH HỌC 12

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

    CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Xem Thêm