Bài 1.41 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:
LG a
\({\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = {3 \over 2}\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn:
\({\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x \) \(= {3 \over 2} - {1 \over 2}\left( {\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x} \right).\)
Do đó phương trình đã cho tương đương với:
\(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0\) \( \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết:
\({\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = {3 \over 2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 - \cos 6x}}{2} = \frac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x + 1 - \cos 4x + 1 - \cos 6x = 3\\
\Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\cos 2x + \cos 6x} \right) + \cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 4x = 0\\
\cos 2x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 8} + {{k\pi } \over 4},x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \).
LG b
\({\sin ^2}3x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}5x + {\sin ^2}6x\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Dùng công thức hạ bậc rồi rút gọn thì được
\(\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x\) hay \(2\cos 7x\cos x = 2\cos 11x\cos x\)
Cuối cùng, cần chú ý thu gọn các họ nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}3x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}5x + {\sin ^2}6x\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 6x}}{2} + \frac{{1 - \cos 8x}}{2}\\
= \frac{{1 - \cos 10x}}{2} + \frac{{1 - \cos 12x}}{2}\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 6x + 1 - \cos 8x\\
= 1 - \cos 10x + 1 - \cos 12x\\
\Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x\\
\Leftrightarrow 2\cos 7x\cos x = 2\cos 11x\cos x\\
\Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 7x - \cos 11x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 7x = \cos 11x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
11x = 7x + k2\pi \\
11x = - 7x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{{k\pi }}{9}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{{k\pi }}{9}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 2};x = {{k\pi } \over 9}\).
LG c
\({\sin ^2}2x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}6x\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Dùng công thức hạ bậc rồi rút gọn thì được
\({1 \over 2}\left( {\cos 12x - \cos 4x} \right) + {\sin ^2}4x = 0\)
Biến đổi tiếp thành \( - \sin 8x\sin 4x + {\sin ^2}4x = 0\)
hay \( - \cos 4x{\sin ^2}4x + {\sin ^2}4x = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}2x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}6x\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + {\sin ^2}4x = \frac{{1 - \cos 12x}}{2}\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 4x + 2{\sin ^2}4x = 1 - \cos 12x\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x + \cos 12x - \cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x - 2\sin 8x\sin 4x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x - 4{\sin ^2}4x\cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x\left( {1 - 2\cos 4x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = 0\\
\cos 4x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k\pi \\
4x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \pm \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 4},x = \pm {\pi \over {12}} + {{k\pi } \over 2}\).
LG d
\({\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2\)
Lời giải chi tiết:
\({\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\\
+ \frac{{1 + \cos 6x}}{2} + \frac{{1 + \cos 8x}}{2} = 2\\
\Leftrightarrow 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x\\
+ 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x = 4\\
\Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x + 2\cos 7x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 3x + \cos 7x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos x.2\cos 5x\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 2x = 0\\
\cos 5x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2},\) \(x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}\)
LG e
\({\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x + {\cos ^2}5x = {3 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
\({\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x + {\cos ^2}5x = {3 \over 2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 6x}}{2} + \frac{{1 + \cos 8x}}{2} + \frac{{1 + \cos 10x}}{2} = \frac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x + 1 + \cos 10x = 3\\
\Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 8x\cos 2x + \cos 8x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 8x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 8x = 0\\
\cos 2x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8}\\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over {16}} + {{k\pi } \over 8},x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \)
LG f
\(8{\cos ^4}x = 1 + \cos 4x\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức \(2{\cos ^2}x = 1 + \cos 2x\) và \(1 + \cos 4x = 2{\cos ^2}2x\) để biến đổi đưa về phương trình đối với \(\cos 2x\)
Lời giải chi tiết:
\(8{\cos ^4}x = 1 + \cos 4x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 8{\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} = 1 + 2{\cos ^2}2x - 1\\
\Leftrightarrow 2{\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} = 2{\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow {\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} = {\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x = {\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array}\)
Vậy \(x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \)
LG g
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \cos 4x\)
Lời giải chi tiết:
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \cos 4x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2}\\
= 2{\cos ^2}2x - 1\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - \cos 2x} \right)^2} + {\left( {1 + \cos 2x} \right)^2}\\
= 8{\cos ^2}2x - 4\\
\Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x + {\cos ^2}2x\\
+ 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x\\
= 8{\cos ^2}2x - 4\\
\Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x - 6 = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}2x = 1\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 2}\)
LG h
\(3{\cos ^2}2x -3 {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(3{\cos ^2}2x -3 {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 3.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0\\
\Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x - 3 + 3\cos 2x + 1 + \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = - 1\\
\cos 2x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \pi + k2\pi \\
2x = \pm \arccos \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{3} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Xemloigiai.com
- Bài 1.25 trang 11 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.26 trang 11 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.27 trang 11 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.28 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.29 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.30 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.31 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.32 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.33 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.35 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.36 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.37 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.38 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.39 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.40 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.42 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.43 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.44 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.45 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.46 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.47 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.48 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Bài 1.49 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
SBT Toán lớp 11 Nâng cao
Giải sách bài tập toán hình học và đại số lớp 11. Giải chi tiết tất cả câu hỏi trong các chương và bài chi tiết trong SBT hình học và đại số toán 11 nâng cao với cách giải nhanh và ngắn gọn nhất
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH SBT 11 NÂNG CAO
- CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- CHƯƠNG 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
- CHƯƠNG 3: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
- CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN
- CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM
- ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
HÌNH HỌC SBT 11 NÂNG CAO
- CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
- CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- CHƯƠNG 3. VECTƠ KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- Bài 1: Các hàm số lượng giác
- Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
- Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
- Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
CHƯƠNG 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
- Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản
- Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
- Bài 3: Nhị thức Niu - tơn
- BÀI 4: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
- Bài 4, 5: Biến cố và xác suất của biến cố - Các quy tắc tính xác suất
- Bài 6: Biến ngẫu nhiên rời rạc
- Ôn tập chương 2: Tổ hợp và xác suất
CHƯƠNG 3: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
- Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
- Bài 2. Dãy số
- Bài 3. Cấp số cộng
- Bài 4. Cấp số nhân
- Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN
- Bài 1: Dãy số có giới hạn 0
- Bài 2: Dãy có giới hạn hữu hạn
- Bài 3: Dãy có giới hạn vô cực
- Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số
- Bài 5. Giới hạn một bên
- Bài 6: Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Bài 7: Các dạng vô định
- Bài 8: Hàm số liên tục
- Ôn tập chương IV - Giới hạn - SBT Toán 11 Nâng cao
CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM
- Bài 1: Khái niệm đạo hàm
- Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
- Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác
- Bài 4: Vi phân
- Bài 5: Đạo hàm cấp cao
- Ôn tập chương V - Đạo hàm
CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
- Bài 1, 2: Mở đầu về phép biến hình. Phép tịnh tiến và phép dời hình
- Bài 3: Phép đối xứng trục
- Bài 4: Phép quay và phép đối xứng tâm
- Bài 5: Hai hình bằng nhau
- Bài 6, 7: Phép vị tự. Phép đồng dạng
- Ôn tập chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng
- Bài tập trắc nghiệm chương 1 - Phép dời hình và phép đồng dạng
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Bài 2: Hai đường thẳng song song
- Bài 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng
- Bài 4: Hai mặt phẳng song song
- Bài 5: Phép chiếu song song
- Ôn tập chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
CHƯƠNG 3. VECTƠ KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
- Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
- Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc
- Bài 5: Khoảng cách
- Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
- Bài tập trắc nghiệm chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc.
Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 11
- SBT Ngữ văn lớp 11
- Văn mẫu 11
- Soạn văn 11 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 11
- Soạn văn 11 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 11
- SBT Địa lí lớp 11
- SGK Địa lí lớp 11
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 11
- SBT Lịch sử lớp 11
- SGK Lịch sử lớp 11