Bài 1.40 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.40 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:...

    Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:

    LG a

    \(\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\)

    Phương pháp giải:

    Hướng dẫn: \(\sin 5x + \sin 3x = 2\sin 4x\cos x\)

    Lời giải chi tiết:

    \(\begin{array}{l}
    \sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\\
    \Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x = \sin 4x\\
    \Leftrightarrow \sin 4x\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    \sin 4x = 0\\
    2\cos x - 1 = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    4x = k\pi \\
    \cos x = \frac{1}{2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{{k\pi }}{4}\\
    x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
    \end{array} \right.
    \end{array}\)

    Vậy \(x = {{k\pi } \over 4},x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \)

    LG b

    \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\)

    Phương pháp giải:

    Hướng dẫn: \(\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x\cos x\)

    Lời giải chi tiết:

    \(\begin{array}{l}
    \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = 0\\
    \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\\
    \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    \sin 2x = 0\\
    2\cos x + 1 = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    2x = k\pi \\
    \cos x = - \frac{1}{2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{{k\pi }}{2}\\
    x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
    \end{array} \right.
    \end{array}\)

    Vậy \(x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,x = k{\pi  \over 2}\)

    LG c

    \(\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0\)

    Lời giải chi tiết:

    Ta biến đổi phương trình đã cho như sau (để ý: \(\sin 4x = 4\sin x\cos x\cos 2x\)):

    \(\eqalign{
    & \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + 2\cos \left( {x + 4x} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\left( {\cos 4x\cos x - \sin 4x\sin x} \right) = 0 \cr 
    & \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 4x\cos x - 8{\sin ^2}x\cos x\cos 2x = 0 \cr 
    & \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x + \cos 4x - 4{{\sin }^2}x\cos 2x} \right) = 0 \cr 
    & \Leftrightarrow 2\cos x\left[ {\cos 2x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 2\left( {1 - \cos 2x} \right)\cos 2x} \right] = 0 \cr 
    & \Leftrightarrow 2\cos x\left( {4{{\cos }^2}2x - \cos 2x - 1} \right) = 0 \cr} \)

    +) \(\cos x = 0 \) \(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \)

    +) \(4{\cos ^2}x - \cos 2x - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow \cos 2x = {{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}\)

    Do \(\left| {{{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}} \right| < 1\) nên có các số \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}\) và \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}\). Từ đó:

    \(\cos 2x = {{1 - \sqrt {17} } \over 8} \)\(\Leftrightarrow 2x =  \pm \alpha  + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x =  \pm {\alpha  \over 2} + k\pi \)

    \(\cos 2x = {{1 + \sqrt {17} } \over 8} \Leftrightarrow 2x =  \pm \beta  + k2\pi  \Leftrightarrow x =  \pm {\beta  \over 2} + k\pi \)

    Kết luận: Phương trình đã cho  các  nghiệm \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ,x =  \pm {\alpha  \over 2} + k\pi \) và \(x =  \pm {\beta  \over 2} + k\pi ,\)với \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}\) và \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}\).

    LG d

    \(\cos 22x + 3\cos 18x \)\(+ 3\cos 14x + \cos 10x = 0\)

    Lời giải chi tiết:

    Vế trái phương trình được biến đổi thành:

    \(\eqalign{
    & \left( {\cos 22x + \cos 10x} \right) + 3\left( {\cos 18x + \cos 14x} \right)\cr& = 2\cos 16x\cos 6x + 6\cos 16x\cos 2x \cr 
    & = 2\cos 16x\left( {\cos 6x + \cos 2x + 2\cos 2x} \right)\cr& = 2\cos 16x\left( {2\cos 4x\cos 2x + 2\cos 2x} \right) \cr 
    & = 4\cos 16x\cos 2x\left( {\cos 4x + 1} \right) \cr&= 8\cos 16x{\cos ^3}2x \cr} \)

    Vậy phương trình đã cho tương đương với

    \(\cos 16x{\cos ^3}2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    \cos 16x = 0 \hfill \cr 
    \cos 2x = 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = {\pi \over {32}} + k{\pi \over {16}} \hfill \cr 
    x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán lớp 11 Nâng cao

    Giải sách bài tập toán hình học và đại số lớp 11. Giải chi tiết tất cả câu hỏi trong các chương và bài chi tiết trong SBT hình học và đại số toán 11 nâng cao với cách giải nhanh và ngắn gọn nhất

    ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH SBT 11 NÂNG CAO

    HÌNH HỌC SBT 11 NÂNG CAO

    CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    CHƯƠNG 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

    CHƯƠNG 3: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

    CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN

    CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM

    CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

    CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

    CHƯƠNG 3. VECTƠ KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

    Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất