Câu 77 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA = SB = SC = a và cùng tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60°. Một mặt phẳng song song với hai cạnh chéo nhau của hình chóp và cắt hình chóp đó theo thiết diện là hình vuông. Tính diện tích thiết diện.

Lời giải chi tiết

Giả sử H là tâm của tam giác đều.

Từ SA = SB = SC nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {SAH} = {60^0}\).

Giả sử mặt phẳng song song với SA, CD và thiết diện thu được là hình vuông MNPQ.

Khi đó, nếu kí hiệu cạnh hình vuông là x thì:

\(\eqalign{  & {x \over {SA}} = {{CQ} \over {C{\rm{S}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \cr  & {x \over {BC}} = {{SQ} \over {SC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Từ (1), (2) suy ra:

\(\eqalign{  & x\left( {{1 \over {SA}} + {1 \over {BC}}} \right) = {{CQ + Q{\rm{S}}} \over {C{\rm{S}}}} = 1  \cr  &  \Rightarrow x= {{SA.BC} \over {SA + BC}} = {{a.BC} \over {a + BC}} \cr} \)

Mặt khác \(HA = SA\cos {60^0} = {a \over 2}\).

mà \(HA = {{BC\sqrt 3 } \over 3}\).

Suy ra \(BC = {{a\sqrt 3 } \over 2}\).

Từ đó \(x = {{a.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over {a + {{a\sqrt 3 } \over 2}}} = {{a\sqrt 3 } \over {2 + \sqrt 3 }} = a\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\).

Vậy \({S_{MNPQ}} = {\left[ {a\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \right]^2} = 3{{\rm{a}}^2}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\).

Xemloigiai.com

• Câu 71 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 75 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 76 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 79 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 80 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 81 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 83 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 85 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 87 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 88 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 89 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao