Câu 37 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, đường chéo AC = 4a, đường chéo BD = 2a; O là giao điểm của AC với BD và SO vuông góc với mặt phẳng (ABC), SO = h. Một mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC tại điểm C₁. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và h để điểm C₁ nằm trong đoạn thẳng SC, C₁ khác S và khác C. Khi đó, tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(α).

Trả lời

Vì \(\left( \alpha  \right) \bot SC\) và  \(A \in \left( \alpha  \right)\) nên \(A{C_1} \bot SC\). Mặt khác, gọi \({B_1}{D_1} = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBD} \right)\) thì B₁D₁ song song với BD và B₁D₁ qua \({O_1} = A{C_1} \cap SO\) (do \(B{\rm{D}} \bot SC,\left( \alpha  \right) \bot SC\) nên BD // (α)).

Vì SAC là tam giác cân tại S và \(A{C_1} \bot SC\) nên C₁ thuộc SC khi và chỉ khi \(\widehat {ASC} < {90^0}\) tức là \(\widehat {OSC} < {45^0}\). Xét tam giác vuông SOC, điều kiện \(\widehat {OSC} < {45^0}\) tương  đương với \(SO > OC = {{AC} \over 2} = 2a\). Vậy để C₁ thuộc SC, C₁ không trùng với C và S thì hệ thức liên hệ giữa h và a là h > 2a.

Dễ thấy thiết diện của S.ABCD khi cắt bởi (α) là tứ giác AB₁C₁D₁ có tính chất \(A{C_1} \bot {B_1}{D_1}\) . Do đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\).

Ta có:

\(\eqalign{  & A{C_1}.SC = SO.AC \Rightarrow A{C_1} = {{4{\rm{a}}h} \over {\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }};  \cr  & {{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{S{O_1}} \over {SO}}, \cr} \)

mặt khác

\(\eqalign{  & {{{O_1}O} \over {CO}} = {{AO} \over {SO}}  \cr  &  \Rightarrow {O_1}O = {{4{{\rm{a}}^2}} \over h}  \cr  &  \Rightarrow S{O_1} = {{{h^2} - 4{a^2}} \over h} \cr} \)

Từ đó \({{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \over {{h^2}}}\)

hay \({B_1}{D_1} = {{2{\rm{a}}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {{h^2}}}\)

Vậy

\(\eqalign{  & {S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{4{\rm{a}}h} \over {\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }}.{{2{\rm{a}}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {{h^2}}}  \cr  &  = {{4{{\rm{a}}^2}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {h\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }} \cr} \)

Xemloigiai.com

• Câu 16 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 17 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 18 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 19 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 20 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 21 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 22 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 23 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 25 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 26 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 27 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 28 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 29 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 30 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 31 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 32 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 33 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 34 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 35 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 36 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 38 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 39 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 40 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao