Câu 31 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau từng đôi một thì trong bốn mặt của tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (cả ba góc của nó đều nhọn).

Trả lời

Giả sử ABCD là tứ diện có tính chất \(AB \bot C{\rm{D}},AC \bot B{\rm{D}},A{\rm{D}} \bot BC\).

Ta có:

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} = A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\).

Từ đó, ta có

\(\eqalign{  & A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}  \cr  &  = A{C^2} + A{{\rm{D}}^2} - C{{\rm{D}}^2}  \cr  &  = A{{\rm{D}}^2} + A{B^2} - B{{\rm{D}}^2} \cr} \)

Hệ thức này khẳng định các góc \(\widehat {BAC},\widehat {CA{\rm{D}}},\widehat {DAB}\) hoặc cùng nhọn, cùng vuông hoặc cùng tù.

Tương tự như trên, ta chứng minh được góc tại bất cứ đỉnh nào của tứ diện ABCD cũng có tính chất đó. Do tính chất tổng các góc trong của một tam giác bằng 180⁰ nên tồn tại nhiều nhất một đỉnh của tứ diện mà tại đó ba góc cùng vuông hay cùng tù. Khi ấy mặt đối diện với đỉnh đó của tứ diện ABCD có cả ba góc đều nhọn.

Vậy nên \(AB \bot C{\rm{D}},AC \bot B{\rm{D}}\) và \(A{\rm{D}} \bot BC\) thì trong bốn mặt của tứ diện ABCD có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (cả ba góc của nó nhỏ hơn 90°).

Xemloigiai.com

• Câu 16 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 17 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 18 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 19 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 20 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 21 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 22 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 23 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 25 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 26 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 27 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 28 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 29 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 30 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 32 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 33 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 34 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 35 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 36 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 37 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 38 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 39 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 40 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao