Bài 7 trang 134 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\), \(O\) là trung điểm của \(BC\). Trên các cạnh \(AB, AC\) lần lượt lấy các điểm di động \(D\) và \(E\) sao cho góc \(\widehat {DOE} = {60^0}\).

a) Chứng minh tích \(BD.CE\) không đổi.

b) Chứng minh \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\). Từ đó suy ra tia \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\). 

c) Vẽ đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với \(AB\). Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với \(DE\).

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh tích \(BD.CE\) không đổi.

Ta có \(\widehat {DOC}\) là góc ngoài của \(∆ BDO\) nên: \(\widehat {DOC} = \widehat B + {\widehat D_1}\)

hay \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat B + \widehat {{D_1}} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {{O_2}} = {60^0} + \widehat {{D_1}}\)

\(\Leftrightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\) 

Xét hai tam giác: \(∆BOD\) và \(∆CEO\), ta có: \(\widehat B = \widehat C = {60^0}\) (gt)  và \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt) 

\(⇒ ∆BOD \backsim ∆CEO\) (g.g)

\( \displaystyle \Rightarrow {{B{\rm{D}}} \over {BO}} = {{CO} \over {CE}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \(\Rightarrow B{\rm{D}}.CE = BO.CO\)

hay \(\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{BC} \over 2}.{{BC} \over 2} = {{B{C^2}} \over 4}\) (không đổi)

Vậy \(\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{B{C^2}} \over 4}\) không đổi

b) Chứng minh \(ΔBOD \backsim ΔOED\)

Từ câu (a) ta có: \(∆BOD \backsim ∆CEO\)

\( \displaystyle \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OC}}\) ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà \(OC = OB\)) nên \( \displaystyle{{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OB}}\)

Mà \(\widehat B = \widehat {DOE} = {60^0}\) 

Vậy \(ΔBOD \backsim ΔOED\) (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)  ( 2 góc tương ứng)

hay \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\)

c) Vẽ \(OK \bot DE\) và gọi \(I\) là tiếp điểm của \((O)\) với \(AB\), khi đó \(OI \bot AB\). Xét hai tam giác vuông: \(IDO\) và \(KDO\), ta có:

\(DO\) chung 

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (do \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\))

Vậy \(ΔIDO= ΔKDO\) ( cạnh huyền - góc nhọn) \( ⇒ OI = OK\) (các cạnh tương ứng).

Điều này chứng tỏ rằng \(OK\) là bán kính của \((O)\) và \(OK \bot DE\) nên \(K\) là tiếp điểm của \(DE\) với \((O)\) hay \(DE\) tiếp xúc với đường tròn \((O).\)

• Bài 1 trang 134 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 2 trang 134 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 3 trang 134 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 4 trang 134 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 5 trang 134 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 6 trang 134 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 8 trang 134 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 9 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 10 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 11 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 12 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 13 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 14 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 15 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 16 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 17 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
• Bài 18 trang 135 SGK Toán 9 tập 2