Bài 43 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính đáy của nó. Tính tỉ số thể tích hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đó.

Lời giải chi tiết

Xét mp(P) qua trục SO của hình nón thì (P) cắt hình nón theo tam giác cân SAB, (P) cắt mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón theo các đường tròn có bán kính lần lượt là R và r.

Các đường tròn này ngoại tiếp và nội tiếp tam giác cân SAB.

Kí hiệu \({V_1},{V_2}\) là thể tích của các hình cầu đã nêu thì \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {\left( {{R \over r}} \right)^3}.\)

Đặt  \(\widehat {SAB}\) =\(\alpha \) và gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta SAB\) thì

\(2R = \) \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {{\rm{AS}}B}}}\)=\({{AB} \over {\sin 2\alpha }}\) và \(r = IO = {{AB} \over 2}\tan {\alpha  \over 2}.\)

Từ đó \({R \over r} = {1 \over {\sin 2\alpha \tan {\alpha  \over 2}}}.\)

Mặt khác \(\tan \alpha  = {{SO} \over {AO}} = 2,\) vậy

\(\eqalign{  & \sin 2\alpha  = {{2\tan \alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {4 \over 5};2 = \tan \alpha  = {{2\tan {\alpha  \over 2}} \over {1 - {{\tan }^2}{\alpha  \over 2}}}  \cr  &  \Rightarrow \tan {\alpha  \over 2} = {{\sqrt 5  - 1} \over 2} \cr} \)

( do \(\tan {\alpha  \over 2} > 0)\).

Như vậy \({R \over r} = {{5\left( {\sqrt 5  + 1} \right)} \over 8},\) tức là \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{125{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}} \over {512}} \)

Xemloigiai.com

• Bài 31 trang 60 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 32 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 33 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 34 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 35 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 36 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 37 trang 61, 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 38 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 39 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 40 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 41 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 42 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 44 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao