Bài 36 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn bán kính a cho trước.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu bán kính đáy và chiều cao hình nón lần lượt là x và y (x, y > 0). Khi đó, diện tích toàn phần của hình nón là

\(\pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \pi {x^2},\)

Theo gia thiết ta có

\(\eqalign{  & \pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \pi {x^2} = \pi {a^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + {x^2} = {a^2}  \cr  &  \cr} \)

\( \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = {a^2} - {x^2}\) (điều kiện x < a)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {x^2}({x^2} + {y^2}) = {a^4} + {x^4} - 2{a^2}{x^2}  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2}{y^2} = {a^4} - 2{a^2}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{{a^4}} \over {{y^2} + 2{a^2}}} \cr} \)

Khi đó thể tích khối nón là

\(V = {1 \over 3}\pi {{{a^4}} \over {{y^2} + 2{a^2}}}.y = {{\pi {a^4}} \over 3}.{y \over {{y^2} + 2{a^2}}}.\)

Từ đó V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({{{y^2} + 2{a^2}} \over y}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \({{{y^2} + 2{a^2}} \over y} = y + {{2{a^2}} \over y} \ge 2\sqrt {y.{{2{a^2}} \over y}}  = 2\sqrt 2 a.\)

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(y = {{2{a^2}} \over y},\) tức là \(y = a\sqrt 2 \), lúc đó \(x = {a \over 2}.\)

Xemloigiai.com

• Bài 31 trang 60 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 32 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 33 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 34 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 35 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 37 trang 61, 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 38 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 39 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 40 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 41 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 42 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 43 trang 62 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 44 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao