Bài 18 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài, \(\left( {B \in \left( O \right),C \in \left( {O'} \right)} \right)\). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.  

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(MO\) là tia phân giác của \(\angle AMB\) ;

\(MO'\) là tia phân giác của \(\angle AMC\).

Mà \(\angle AMB\) và \(\angle AMC\) là 2 góc kề bù \( \Rightarrow MO \bot MO'\) \( \Rightarrow \angle OMO' = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle EMF = {90^0}\).

Ta có : \(OA = OB \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AB\) ;

\(MA = MB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(AB \Rightarrow OM \bot AB\)

\( \Rightarrow \angle AEM = {90^0}\).

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \(O'M\) là trung trực của \(AC \Rightarrow O'M \bot AC\)

\( \Rightarrow \angle AFM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(AEMF\) có : \(\angle AEM = \angle AFM = \angle EMF = {90^0} \) \(\Rightarrow \) \(AEMF\) là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).

b) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Rightarrow MB = MC \) \(\Rightarrow M\) là trung điểm của \(BC\).

\( \Rightarrow M\) là tâm đường tròn đường kính \(BC\).

Ta có : \(MA = MB = MC = \dfrac{1}{2}BC\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \angle BAC = {90^0} \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) . Mà \(MA \bot OO'\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OO'\) vuông góc với bán kính \(MA\) của đường tròn đường kính \(BC\) tại \(A\).

Vậy \(OO'\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(BC\).

Xemloigiai.com

• Bài 1 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 2 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 3 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 4 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 5 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 6 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 7 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 8 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 9 trang 145 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 10 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 11 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 12 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 13 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 14 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 15 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 16 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 17 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 19 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1
• Bài 20 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1