Lý thuyết hàm số lũy thừa
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in R} \right)\). Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo \(\alpha\):
- Nếu \(\alpha\) nguyên dương thì tập các định là \(R\).
- Nếu \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha = 0\) thì tập các định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\).
- Nếu \(\alpha \) không nguyên thì tập các định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Chú ý: Hàm số \(y = \sqrt x \) có tập xác định là \(\left[ {0; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) có tập xác định \(R\), trong khi đó các hàm \(y = {x^{\frac{1}{2}}},y = {x^{\frac{1}{3}}}\) đều có tập xác định \((0; +∞)\). Vì vậy \(y = \sqrt x \) và \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\) ( hay \(y = \sqrt[3]{x}\) và \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\)) là những hàm số khác nhau.
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
- Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có đạo hàm tai mọi \(x ∈ (0; +∞)\) và \(y' = \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)
- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }\left( x \right)\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \[y' = \left[ {{u^\alpha }\left( x \right)} \right]' = \alpha {u^{\alpha - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là \(R\) và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \in R,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\] nếu \(u= u(x) \) có đạo hàm trong khoảng \(J\).
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\) và có đạo hàm tại mọi \(x\) khác \(0\), công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \ne 0,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]
nếu \(u= u(x) \ne 0\) có đạo hàm trong khoảng \(J\).
5. Đạo hàm của căn thức
Hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) (tập xác định của \(y = \sqrt[n]{x}\) chứa tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) và trên tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) thì hai hàm số trùng nhau).
Khi \(n\) lẻ thì hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định \(R\). Trên khoảng \((0; +∞) \) ta có \(y = \sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) và \(\left( {{x^{\frac{1}{n}}}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} - 1}}\), do đó \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\).
Công thức này còn đúng cả với \(x < 0\) và hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) không có đạo hàm tại \(x= 0\).
Khi \(n\) chẵn hàm \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định là \([0;+∞)\), không có đạo hàm tại \(x= 0\) và có đạo hàm tại mọi \(x > 0\) tính theo công thức:
\[ \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\]
Tóm lại, ta có \( \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) đúng với mọi \(x\) làm cho hai vế có nghĩa.
Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu \(u=u(x)\) là hàm có đạo hàm trên khoảng \(J\) và thỏa mãn điều kiện \(u(x) > 0, ∀x ∈ J\) khi \(n\) chẵn, \(u\left( x \right) \ne 0,\forall x \in J\) khi \(n\) lẻ thì
\[\forall x \in J,\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\]
6. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên khoảng \((0; +∞)\)
Chú ý: Khi khảo sát hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha \) cụ thể, cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng \((0; +∞)\) như trên).
Xemloigiai.com
- Trả lời câu hỏi 1 trang 57 SGK Giải tích 12
- Trả lời câu hỏi 2 trang 57 SGK Giải tích 12
- Trả lời câu hỏi 3 trang 58 SGK Giải tích 12
- Giải bài 1 trang 60 SGK Giải tích 12
- Giải bài 2 trang 61 SGK Giải tích 12
- Giải bài 3 trang 61 SGK Giải tích 12
- Giải bài 4 trang 61 SGK Giải tích 12
- Giải bài 5 trang 61 SGK Giải tích 12
SGK Toán lớp 12
Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day
GIẢI TÍCH 12
- CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Bài 2. Cực trị của hàm số
- Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Bài 4. Đường tiệm cận
- Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- Bài 1. Lũy thừa
- Bài 2. Hàm số lũy thừa
- Bài 3. Lôgarit
- Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
- Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
- Ôn tập Chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- Bài 1. Nguyên hàm
- Bài 2. Tích phân
- Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
- Ôn tập Chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- Bài 1. Số phức
- Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
- Bài 3. Phép chia số phức
- Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
- Ôn tập Chương IV - Số phức
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
- Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
- Ôn tập chương I - Khối đa diện
CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
- Bài 2. Phương trình mặt phẳng
- Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
- Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 12
- SBT Địa lí lớp 12
- SGK Địa lí lớp 12
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 12
- SBT Lịch sử lớp 12
- SGK Lịch sử lớp 12