Lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

    1. Khái niệm hàm số lũy thừa

    Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \in R} \right)\). Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo \(\alpha\): 

    - Nếu \(\alpha\) nguyên dương thì tập các định là \(R\).

    - Nếu \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha  = 0\) thì tập các định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

    - Nếu \(\alpha \) không nguyên thì tập các định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

    Chú ý: Hàm số \(y = \sqrt x \) có tập xác định là \(\left[ {0; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) có tập xác định \(R\), trong khi đó các hàm \(y = {x^{\frac{1}{2}}},y = {x^{\frac{1}{3}}}\) đều có tập xác định \((0; +∞)\). Vì vậy \(y = \sqrt x \) và \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\) ( hay \(y = \sqrt[3]{x}\) và \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\)) là những hàm số khác nhau.

    2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

    - Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có đạo hàm tai mọi \(x ∈ (0; +∞)\) và \(y' = \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha  - 1}}\)

    - Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }\left( x \right)\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \[y' = \left[ {{u^\alpha }\left( x \right)} \right]' = \alpha {u^{\alpha  - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

    3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

    Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là \(R\) và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \in R,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\] nếu \(u= u(x) \) có đạo hàm trong khoảng \(J\).

    4. Đạo hàm của hàm số  lũy thừa với số mũ nguyên âm

    Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\) và có đạo hàm tại mọi \(x\) khác \(0\), công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \ne 0,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

    nếu \(u= u(x) \ne 0\) có đạo hàm trong khoảng \(J\).

    5. Đạo hàm của căn thức

    Hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) (tập xác định của \(y = \sqrt[n]{x}\) chứa tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) và trên tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) thì hai hàm số trùng nhau).

    Khi \(n\) lẻ thì hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định \(R\). Trên khoảng \((0; +∞) \) ta có \(y = \sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) và \(\left( {{x^{\frac{1}{n}}}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} - 1}}\), do đó \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\).

    Công thức này còn đúng cả với \(x < 0\) và hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) không có đạo hàm tại \(x= 0\).

    Khi \(n\) chẵn hàm \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định là \([0;+∞)\), không có đạo hàm tại \(x= 0\) và có đạo hàm tại mọi \(x > 0\) tính theo công thức:

    \[ \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\]

    Tóm lại, ta có \( \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) đúng với mọi \(x\) làm cho hai vế có nghĩa.

    Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu \(u=u(x)\) là hàm có đạo hàm trên khoảng \(J\) và thỏa mãn điều kiện \(u(x) > 0, ∀x ∈ J\) khi \(n\) chẵn, \(u\left( x \right) \ne 0,\forall x \in J\) khi \(n\) lẻ thì

    \[\forall x \in J,\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\]

    6. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên khoảng \((0; +∞)\)

    Chú ý: Khi khảo sát hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha \) cụ thể, cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng \((0; +∞)\) như trên).

    Xemloigiai.com

    SGK Toán lớp 12

    Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day

    GIẢI TÍCH 12

    HÌNH HỌC 12

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

    CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Xem Thêm