Câu 68 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và A’B.

b) Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A’B’, BC, DD’ sao cho A’M = BN = DP. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định khi M, N, P thay đổi.

Trả lời

a) Góc giữa AC’ và A’B bằng 90°. Vì AC’ vuông góc với (A’BD) tại trọng tâm G của tam giác A’BD và A’BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên

\(d\left( {AC';A'B} \right) = GI = {{a\sqrt 6 } \over 6}.\)

b) Đặt \(A'M = BN = DP = x\) thì

\(\eqalign{  & A{N^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  & A{P^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  & A{M^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  &  \Rightarrow AM = AN = AP \cr} \)

Mặt khác

\(N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2}\)

\(= {\left( {a - x} \right)^2} + {a^2} + {x^2}\)

\(N{M^2} = N{B^2} + BB{'^2} + B'{M^2}\)

\(= {x^2} + {a^2} + {\left( {a - x} \right)^2} \)

Tương tự, ta có MN = NP = PM.

Do đó A.MNP là hình chóp đều. Khi ấy đường thẳng nối A với trọng tâm tam giác MNP sẽ vuông góc với mp(MNP). Tương tự như trên ta cũng có đường thẳng nối C’ với trọng tâm của tam giác MNP sẽ vuông góc với mp(MNP). Vậy trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định AC’.

Xemloigiai.com

• Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 57 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 58 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 59 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 60 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 61 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 62 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 63 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 64 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 65 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 66 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 67 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 69 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 70 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao