Câu 61 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD), cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α. Tính:

a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD;

b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng (SCD);

c) Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng trung trực của cạnh BC.

Trả lời

a) Gọi H là trung điểm của AB thì \(SH \bot AB\), từ đó \(SH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\). Vậy khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH, đó là chiều cao của hình chóp.

Ta có \(SH = HC\tan \alpha \),

mặt khác \(H{C^2} = B{H^2} + B{C^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4}\).

hay \(HC = {{a\sqrt 5 } \over 2}\).

Vậy \(SH = {{a\sqrt 5 } \over 2}\tan \alpha \).

b) Gọi K là trung điểm của CD thì \(C{\rm{D}} \bot \left( {SHK} \right)\), từ đó \(\left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SHK} \right)\). Vậy nếu kẻ đường cao HI của tam giác SHK thì HI là khoảng cách từ H đến mp(SCD). Ta có:

\(\eqalign{  & HI = {{H{\rm{S}}.HK} \over {SK}} = {{{{a\sqrt 5 } \over 2}\tan \alpha .a} \over {\sqrt {{{5{{\rm{a}}^2}} \over 4}{{\tan }^2}\alpha  + {a^2}} }}  \cr  &  = {{a\sqrt 5 \tan \alpha } \over {\sqrt {5{{\tan }^2}\alpha  + 4} }} \cr} \)

c) Vì SH và CD cùng vuông góc với BC nên SH, CD song song với mặt phẳng trung trực (R) của BC. Khi đó:

\(\left( R \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MN\) với MN // CD và M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

\(\left( R \right) \cap \left( {SHK} \right) = EF\), EF // SH, E là trung điểm của MN.

\(\left( R \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = PQ\), PQ đi qua điểm F và PQ // CD. Thiết diện MNPQ là hình thang cân.

Ta có

 \(\eqalign{  & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}\left( {MN + PQ} \right).EF  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {a + {a \over 2}} \right).{{a\sqrt 5 } \over 4}\tan \alpha   \cr  &  = {{3{a^2}\sqrt 5 } \over {16}}\tan \alpha  \cr} \).

Xemloigiai.com

• Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 57 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 58 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 59 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 60 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 62 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 63 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 64 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 65 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 66 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 67 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 68 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 69 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 70 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao