Câu 4 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) . Dùng phương pháp vectơ, chứng minh rằng

\({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\)

Trả lời:

Vì ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {S{\rm{D}}} \)

hay \(\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} \)

Đặt

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SA}  = a\overrightarrow {S{A_1}} ,\overrightarrow {SB}  = b\overrightarrow {S{B_1}} ,  \cr  & \overrightarrow {SC}  = c\overrightarrow {S{C_1}} ,\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = d\overrightarrow {S{{\rm{D}}_1}}  \cr} \)

(với a, b, c, d là các số lớn hơn 1)

Khi đó:

\(\eqalign{  & {{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = a + c  \cr  & {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}} = b + d \cr} \)

và

\(\eqalign{  & \overrightarrow {S{{\rm{D}}_1}}  = {1 \over d}.\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = {1 \over d}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} } \right)  \cr  &  = {1 \over d}\left( {a\overrightarrow {S{A_1}}  + c\overrightarrow {S{C_1}}  - b\overrightarrow {S{B_1}} } \right)  \cr  &  = {a \over d}.\overrightarrow {S{A_1}}  + {c \over d}.\overrightarrow {S{C_1}}  - {b \over d}.\overrightarrow {S{B_1}}  \cr} \)

Mặt khác các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra

\({a \over d} + {c \over d} - {b \over d} = 1\)

tức là a + c = b + d

Như vậy  \({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\).

Xemloigiai.com

• Câu 1 trang 113 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 2 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 3 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 5 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 6 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 7 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 8 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 9 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 11 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 15 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao