Câu 18 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:

    Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:

                    \(\left\{ \matrix{\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1 \hfill \cr z + {\rm{w}} = li \hfill \cr}  \right.\)

    Trong đó l là số thực cho trước.

    Giải

    Ta xét các trường hợp sau:

    1) \(l = 0.\) Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho \(\left| z \right| = 1\), còn \({\rm{w}} =  - z\)

    2) \(l \ne 0.\) Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w.

    Do \(l \ne 0\) nên P khác O. Điều kiện \(z + {\rm{w}} = li\) tương đương với điều kiện \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OP} \). Nhưng vì \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị (O) với đường trung trực (d) của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau:

    Khi \(0 \ne \left| l \right| < 2\) thì (O) và (d) cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số \( \pm {1 \over 2}\sqrt {4 - {l^2}}  + {l \over 2}i\)

    Khi \(l = 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán.

    Khi \(l =  - 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức –i. vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán.

    Khi \(\left| l \right| > 2\) thì (O) và (d) không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN