Bài 92 trang 140 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :
\(\Delta :\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr y = - 1 + 2t \hfill \cr z = 4 \hfill \cr} \right.\)
Gọi \(\Delta '\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
\((\alpha ):x - 3y + z = 0\) và \((\alpha '):x + y - z + 4 = 0\)
và điểm M0 (1; 1; 2).
LG a
Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta '\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({N_o}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}0} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(N_o'( - 2;{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}2)\) và có vectơ chỉ phương
\(\overrightarrow {u'} = \left( {\left| {\matrix{ { - 3} & 1 \cr 1 & { - 1} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & 1 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & { - 3} \cr 1 & 1 \cr } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right)\)
Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = {\rm{ }}\left( {8{\rm{ }};{\rm{ }} - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right),\overrightarrow {{N_o}N_o'} = {\rm{ }}\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right),\) suy ra
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{N_o}N_o'} = {\rm{ }}8\left( { - 5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - 4} \right).{\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}2\left( { - 2} \right){\rm{ }}\)
\(= {\rm{ }} - 40{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0.\)
Vậy \(\Delta \) và \(\Delta \)' chéo nhau.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng chứa \(\Delta '\) song song với \(\Delta \)
Lời giải chi tiết:
Gọi (P) là mặt phẳng chứa \(\Delta \)' và song song với \(\Delta \), khi đó (P) đi qua điểm \(N_o'\left( { - 2;0;2} \right) \in \Delta '\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {4; - 2; - 1} \right).\)
Vậy phương trình mp(P) là :
\(4\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} - 2(y - {\rm{ }}0){\rm{ }} - {\rm{ 1}}\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(4x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - z{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
LG c
Viết phương trình mặt phẳng qua M0 và vuông góc với \(\Delta \) .
Lời giải chi tiết:
Gọi d là mặt phẳng qua \({M_o}\left( {{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right)\) và vuông góc với \(\Delta \). Khi đó, (Q) nhận vectơ \(\overrightarrow u = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Vậy (Q) có phương trình :
\(1{\rm{ }}\left( {x - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
LG d
Viết phương trình đường thẳng qua M0, cắt cả \(\Delta\) và \(\Delta '\) .
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường thẳng qua Mo, cắt cả \(\Delta \) và \(\Delta \)'. Khi đó, d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \beta \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta )\) và \(\left( {\beta '} \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta ')\)
Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) đi qua \({M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{M_o}{N_o}} ,\overrightarrow u } \right].\)
Ta có \(\overrightarrow {{M_o}{N_o}} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right),\overrightarrow u = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\) suy ra
\(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {\left| {\matrix{ { - 2} & 2 \cr 2 & 0 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & 2 \cr 0 & 1 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & { - 2} \cr 1 & 2 \cr } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).\)
Vậy phương trình mp(\(\beta \)) là :
\( - 4(x - 1) + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \( - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Mặt phẳng (\(\beta \)) đi qua \({M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\beta '}}} = \left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o'} ,\overrightarrow {u'} } \right].\)
Ta có \(\overrightarrow {{M_o}N_o'} = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\overrightarrow {u'} {\rm{ }} = {\rm{ }}(2;{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4),\) suy ra
\(\left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o'} ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ { - 1} & 0 \cr 2 & 4 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 0 & { - 3} \cr 4 & 2 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 3} & { - 1} \cr 2 & 2 \cr } } \right|} \right) \)
\(= \left( { - 4;12; - 4} \right).\)
Ta chọn một vectơ pháp tuyến khác của (\(\beta '\)) là (1 ; -3 ; 1), từ đó (\(\beta '\)) có phương trình là :
\(1.(x - {\rm{ }}1){\rm{ }} - {\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right) + 1\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right) = 0\) hay \(x - {\rm{ }}3y + z = 0.\)
Dễ thấy rằng đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \( - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + 3z - 5 = {\rm{ }}0\) và \(x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) thoả mãn bài toán. Do đó, phương trình tham số của d là
\(\left\{ \matrix{ x = {\rm{ }} - 3{\rm{ }} + {\rm{ }}2t \hfill \cr \;y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + t \hfill \cr {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}t. \hfill \cr} \right.\)
Dễ thấy d cắt cả \(\Delta \) và \(\Delta \)'.
LG e
Tính khoảng cách giữa \(\Delta\) và \(\Delta '\)
Lời giải chi tiết:
\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{N_o}N_o'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {{20} \over {\sqrt {21} }}.\)
LG g
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của \(\Delta\) và \(\Delta '\)
Lời giải chi tiết:
Gọi đường vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta \)' là \(\delta \). Khi đó, vectơ chỉ phương của \(\delta \) là \(\overrightarrow {{u_\delta }} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {4; - 2; - 1} \right).\)
Gọi (\({\beta _1}\)) là mp\(\left( {\Delta ,\delta } \right)\) thì (\({\beta _1}\)) đi qua No và có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_\delta }} } \right] = \left( { - 2;1; - 10} \right).\)
Vậy phương trình của (\({\beta _1}\)) là
\( - 2(x - {\rm{ }}3){\rm{ }} + {\rm{ }}1\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - 10\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + 10z{\rm{ }} - {\rm{ }}47{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Gọi (\({\beta _2}\)) là mp\(\left( {\Delta ',\delta } \right)\) thì (\({\beta _2}\)) đi qua \(N_o'\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \;\left[ {\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {{u_\delta }} } \right]\; = {\rm{ }}\left( {6;{\rm{ }}18;{\rm{ }} - {\rm{ }}12} \right).\)
Vậy (\({\beta _2}\)) có phương trình là
(\({\beta _2}\)) : \(x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Do đó, đường vuông góc chung \(\delta \) của \(\Delta \) và \(\Delta \)' là giao tuyến của hai mặt phẳng \(:2x - {\rm{ }}y + 10z - {\rm{ }}47 = {\rm{ }}0\) và \(x{\rm{ }} + 3y - 2z + 6 = {\rm{ }}0.\)
Phương trình tham số của \(\delta \) là \(\left\{ \matrix{ x = {{23} \over 7} - 4t \hfill \cr y = - {3 \over 7} + 2t \hfill \cr z{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + t. \hfill \cr} \right.\)
Xemloigiai.com
- Bài 89 trang 138 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
- Bài 90 trang 139 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
- Bài 91 trang 139 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
- Bài 93 trang 140 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
- Bài 94 trang 140 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
- Bài 95 trang 141 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
SBT Toán lớp 12 Nâng cao
Giải sách bài tập toán hình học và giải tích lớp 12. Giải chi tiết tất cả câu hỏi trong các chương và bài chi tiết trong SBT hình học và đại số toán 12 nâng cao với cách giải nhanh và ngắn gọn nhất
GIẢI TÍCH SBT 12 NÂNG CAO
- CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
- CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
- CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC
- Ôn tập cuối năm Giải tích
HÌNH HỌC SBT 12 NÂNG CAO
- CHƯƠNG 1: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
- CHƯƠNG 2: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
- CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Ôn tập cuối năm Hình học
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
- Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số
- Bài 2: Cực trị của hàm số
- Bài 3: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
- Bài 4: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
- Bài 5: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
- Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức
- Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ
- Bài 8: Một số bài toán thường gặp về đồ thị
- Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- Bài 1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
- Bài 2. Lũy thừa với số mũ thực
- Bài 3, 4. Lôgarit, lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
- Bài 5, 6. Hàm số mũ , hàm số lôgarit và hàm số lũy thừa
- Bài 7. Phương trình mũ và lôgarit
- Bài 8. Phương trình mũ và lôgarit
- Bài 9. Bất phương trình mũ và lôgarit
- Ôn tập chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
- Bài 1. Nguyên hàm
- Bài 2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
- Bài 3. Tích phân
- Bài 4. Một số phương pháp tính tích phân
- Bài 5, 6. Một số ứng dụng hình học của tích phân
- Ôn tập chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC
- Bài 1. Số phức
- Bài 2. Căn bậc hai của số phức, phương trình bậc hai
- Bài 3. Dạng lượng giác của số phức. Ứng dụng
- Ôn tập chương IV - Số phức
CHƯƠNG 1: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
- Bài 1: Khái niệm về khối đa diện
- Bài 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện
- Bài 3: Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện
- Bài 4: Thể tích của khối đa diện
- Ôn tập chương 1: Khối đa diện và thể tích của chúng
CHƯƠNG 2: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
- Bài 1: Mặt cầu, khối cầu
- Bài 2, 3 : Khái niệm về mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ
- Bài 4: Mặt nón, hình nón và khối nón
- Ôn tập chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 12
- SBT Địa lí lớp 12
- SGK Địa lí lớp 12
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 12
- SBT Lịch sử lớp 12
- SGK Lịch sử lớp 12