Bài 44 trang 63 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất.

Với hình nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông

Giải

\( \bullet \) Xét mp(\(\alpha \)) qua trục SO của hình nón thì (\(\alpha \)) cắt hình nón theo tam giác cân SAB, (\(\alpha \)) cắt mặt cầu đã cho theo thiết diện là hình vuông MNPQ (hình vuông nội tiếp \(\Delta SAB).\)

Đặt  \(\widehat {SAB}\) =\(\alpha \) thì SA = SB = \(2R\sin \alpha .\)

Và \(OB = SB\cos \alpha  = R\sin 2\alpha .\) Từ đó diện tích xung quanh của hình nón là

\({S_{xq}} = \pi R.\sin 2\alpha .2R\sin \alpha  = 4\pi {R^2}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \)

        \(= 4\pi {R^2}(1 - {\cos ^2}\alpha )cos\alpha .\)

Đặt \(f(t) = (1 - {t^2})t\) với \(0 < t = \cos \alpha  < 1.\)

Dễ thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(t = {1 \over {\sqrt 3 }} = \cos \alpha  \Rightarrow \tan \alpha  = \sqrt 2 .\)

\( \Rightarrow \tan \alpha  = \sqrt 2 \). Khi ấy \({{SO} \over {OB}} = \tan \alpha  = \sqrt 2 ,\) tức là \(SO = OB\sqrt 2 .( * )\)

Vậy hình nón có đường cao và bán kính đáy thỏa mãn điều kiện \(\left(  *  \right)\) nội tiếp mặt cầu đã chốc diện tích xung quanh lớn nhất.

Dễ thấy \({{S{O_1}} \over {SO}} = {{MQ} \over {AB}} = {x \over {AB}}\) (đặt MQ = MN = x).

Khi ấy \({{SO - x} \over {SO}} = {x \over {AB}} \Rightarrow SO - x = {{SO} \over {AB}}.x = {{\sqrt 2 } \over 2}x.\)

Từ đó \(SO = {x \over 2}\left( {2 + \sqrt 2 } \right).\) (1)

Mặt khác \(SO = OB\tan \alpha  = R\sin 2\alpha .\tan \alpha  = 2R{\sin ^2}\alpha .\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x = {{4R{{\sin }^2}\alpha } \over {2 + \sqrt 2 }} = {{4R.{2 \over 3}} \over {2 + \sqrt 2 }} = {{8R} \over {3\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} = {4 \over 3}R\left( {2 - \sqrt 2 } \right).\)

Vậy chiều cao của hình trụ phải tìm là \({{4R} \over 3}\left( {2 - \sqrt 2 } \right).\)

Xemloigiai.com

• Bài 31 trang 60 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 32 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 33 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 34 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 35 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 36 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 37 trang 61, 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 38 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 39 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 40 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 41 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 42 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 43 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao