Bài 35 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

1) Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước.

2) Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước.

Giải

1)

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y \((0 < x \le R,0 < y < 2R).\) Gọi SS’ là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón ta có

\({x^2} = y\left( {2R - y} \right).\)

Gọi V₁ là thể tích khối nón thì

\(\eqalign{  & {V_1} = {1 \over 3}\pi {x^2}y = {1 \over 3}\pi y.y(2R - y)  \cr  &  = {\pi  \over 6}\left( {4R - 2y} \right).y.y  \cr  &  \le {\pi  \over 6}{\left( {{{4R - 2y + y + y} \over 3}} \right)^3} = {{32\pi {R^3}} \over {81}}. \cr} \)

Vậy thể tích \({V_1}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \({{32\pi {R^3}} \over {81}}\) khi và chỉ khi 4R-2y=y

\( \Leftrightarrow y = {{4R} \over 3},\) từ đó \({x^2} = {{4R} \over 3}\left( {2R - {{4R} \over 3}} \right) = {{8{R^2}} \over 9}\) hay \(x = {{2R\sqrt 2 } \over 3}.\)

2)

Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB (H.79b)

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y (x > 0, y > 2r) thì

\(\left( {AH + SA} \right)r = {1 \over 2}AB.SH\)

\( \Leftrightarrow (x + \sqrt {{x^2} + {y^2}} )r = xy \Leftrightarrow {x^2} = {{{r^2}y} \over {y - 2r}},\)

Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là

\({V_2} = {1 \over 3}\pi {x^2}y = {1 \over 3}\pi {r^2}.{{{y^2}} \over {y - 2r}}.\)

Ta có

 \(\eqalign{  & {{{y^2}} \over {y - 2r}} = {{{y^2} - 4{r^2} + 4{r^2}} \over {y - 2r}} = y + 2r + {{4{r^2}} \over {y - 2r}}  \cr  &  = y - 2r + {{4{r^2}} \over {y - 2r}} + 4r  \cr  &  \ge 2\sqrt {(y - 2r).{{4{r^2}} \over {y - 2r}}}  + 4r = 8r. \cr} \)

Từ đó \({V_2} \ge {1 \over 3}\pi .8{r^3},\) tức là \({V_2}\) đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi

\(y - 2r = {{4{r^2}} \over {y - 2r}} \Leftrightarrow y = 4r,\)

Từ đó \(x = r\sqrt 2 .\)

Xemloigiai.com

• Bài 31 trang 60 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 32 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 33 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 34 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 36 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 37 trang 61, 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 38 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 39 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 40 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 41 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 42 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 43 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
• Bài 44 trang 63 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao