Bài 35 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối chóp tứ giác đều

    Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến \(mp\left( {SBC} \right)\) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp là nhỏ nhất ?

    Giải

    (h.19)

     

    Giả sử O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), Gọi EH là đường trung bình của hình vuông ABCD \(\left( {E \in AD,H \in BC} \right).\) Vì \(AD//BC\) nên \(AD//\left( {SBC} \right)\), do đó

    \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right).\)

    Kẻ \(EK \bot SH\). Dễ thấy \(EK \bot \left( {SBC} \right)\) suy ra

    \(EK = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2a.\)

    Ta có : \(BC \bot SH,BC \bot OH \Rightarrow \)\(\widehat {SHO}\) là góc giữa mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy. Đặt \(\widehat {SHO}  =x\left( {0 < x < {\pi  \over 2}} \right)\). Khi đó :

    \(EH = {{2a} \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }};\;OH = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}};\;SO = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{\mathop{\rm tanx}\nolimits}  = {a \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }}\)

    Vậy: \({V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{S_{ABCD}}.SO = {{4{a^3}} \over {3\cos x{{\sin }^2}x}}\)

    Từ đó \({V_{S.ABCD}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(y\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có:

    \(\eqalign{
     y'\left( x \right) &= - {\sin ^3}x + 2\sin x.{\cos ^2}x \cr
    & = \sin x\left( {2{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) \cr
    & = \sin x\left( {2 - 3{{\sin }^2}x} \right) \cr
    & = 3\sin x\left( {\sqrt {{2 \over 3}} - \sin x} \right)\left( {\sqrt {{2 \over 3}} + \sin x} \right) \cr} \)

    Vì \(0 < x < {\pi  \over 2}\) nên \(\sin x\left( {\sqrt {{2 \over 3}}  + \sin x} \right) > 0\)

    Gọi \(\alpha \) là góc sao cho \(\sin \alpha  = \sqrt {{2 \over 3}} ;\,\,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\)

    Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\):

    Vậy \({V_{S.ABCD}}\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \alpha \) với \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) và \(\sin x = \sqrt {{2 \over 3}} .\)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất