Bài 30 trang 9 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Lấy một mặt phẳng vuông góc

    Lấy một mặt phẳng vuông góc với cạnh bên của một khối lăng tru. Hình chiếu của mặt đáy của khối lăng trụ trên mặt phẳng đó được gọi là thiết diện thẳng của khối lăng trụ.

    Chứng minh rằng thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích thiết diện thẳng với độ dài cạnh bên.

    Giải

    Cách 1. (h.13)

    Giả sử khối lăng trụ \({A_1}{A_2}...{A_n}.A_1'A_2'...A_n'\) có thiết diện thẳng là \({B_1}{B_2}...{B_n}\). Ta có thể lấy \({B_1},{B_2},...,{B_n}\)sao cho các đoạn thẳng \({B_1}{A_1},{B_2}{A_2},...,{B_n}{A_n}\) đều lớn hơn \({A_1}A_1'\).

    Tịnh tiến khối đa diện \({B_1}{B_2}...{B_n}\).\({A_1}{A_2}...{A_n}\) theo vectơ \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {{A_1}A_1'} \), ta được khối đa diện \(B_1',B_2',...,B_n'.A_1'A_2'...A_n'\). Hai khối này rõ ràng có thể tích bằng nhau ( do chúng bằng nhau ) và có phần chung là khối đa diện \({A_1}{A_2}...{A_n}\).\(B_1',B_2',...,B_n'\). Do đó, thể tích khối lăng trụ \({A_1}{A_2}...{A_n}.A_1'A_2'...A_n'\) bằng thể tích khối lăng trụ đứng \({B_1}{B_2}...{B_n}\).\(B_1',B_2',...,B_n'\).

    Vậy nếu gọi V là thể tích của khối lăng trụ đã cho thì

    \(\eqalign{  & V = {S_{{B_1}{B_2}...{B_n}}}.{B_1}B_1' = {S_{{B_1}{B_2}...{B_n}}}.{A_1}A_1'  \cr  &  \cr} \)

    (\({B_1}B_1' = {A_1}A_1'\)vì \(\overrightarrow {{B_1}B_1'}  = \overrightarrow {{A_1}A_1'}  = \overrightarrow v ).\)

    Cách 2.(h.14).

    Hạ \(\overrightarrow {A_1'H}  \bot \left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\)thì \(A_1'H\) bằng chiều cao h của khối lăng trụ.

    Khi đó góc giữa mặt phẳng chứa thiết diện thẳng \({B_1}{B_2}...{B_n}\) và mặt phẳng đáy của khối lăng trụ bằng góc giữa hai đường thẳng \({A_1}A_1'\)và \(A_1'H\). Gọi góc này là \(\alpha \) thì \(h = A_1'H = {A_1}A_1'cos\alpha .\)

    Ta có thiết diện thẳng \({B_1}{B_2}...{B_n}\) là hình chiếu của đa giác đáy \({A_1}{A_2}...{A_n}\) trên \(mp\left( {{B_1}{B_2}...{B_n}} \right)\).

    Vậy thể tích của khối lăng trụ là :

    \(\eqalign{   V = {S_{{A_1}{A_2}...{A_n}}}.A_1'H &= {{{S_{{B_1}{B_2}...{B_n}}}} \over {cos\alpha }}{A_1}A_1'cos\alpha   \cr  &  = {S_{{B_1}{B_2}...{B_n}}}.{A_1}A_1'(đpcm). \cr} \)

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất