Bài 42 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng

    Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với \(mp\left( P \right)\) tại A, lấy một điểm S. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua A vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí của M để tính thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ hơn cung BM.

    Giải

    (h.27)

     

    \(\eqalign{  & MB \bot AM,MB \bot SA  \cr  &  \Rightarrow MB \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow MB \bot AH(1)  \cr  & SB \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow SB \bot AH.(1) \cr} \)

    Từ (1) và (2) suy ra \(\eqalign{  & AH \bot \left( {SMB} \right) \Rightarrow AH \bot SM,AH \bot HK.  \cr  & {V_{S.AHK}} = {1 \over 3}{S_{AHK}}.SK = {1 \over 6}AH.KH.SK. \cr} \)

    Vì \(SK\) cố định nên :

    \({V_{S.AHK}}\max  \Leftrightarrow \left( {AH.KH} \right)\max  \)

    \(\Leftrightarrow \left( {A{H^2}.K{H^2}} \right)\max  \Leftrightarrow A{H^2} = K{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}\)

    ( vì \(A{H^2} + H{K^2} = A{K^2}\) không đổi).

    Vậy ta chỉ cần xác định vị trí điểm M thỏa mãn điều kiện \(A{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}.\left(  *  \right)\)

    Đặt \(\widehat {MAB}\) =x,SA=h, AB=2R. Ta có

    \(\eqalign{  & A{K^2} = {{S{A^2}.A{B^2}} \over {S{B^2}}} = {{4{R^2}{h^2}} \over {4{R^2} + {h^2}}},  \cr  & AM = 2R{\mathop{\rm cosx}\nolimits} ,  \cr  & A{H^2} = {{S{A^2}.A{M^2}} \over {S{M^2}}} = {{4{h^2}{R^2}{{\cos }^2}x} \over {{h^2} + 4{R^2}{{\cos }^2}x}}. \cr} \)

    Từ \(\left(  *  \right)\) ta suy ra : \({\cos ^2}x = {{{h^2}} \over {2\left( {{h^2} + 2{R^2}} \right)}} < {1 \over 2}.\)

    Từ đây ta xác định được x, tức là xác định được vị trí điểm M (có hai vị trí của điểm M ).

    Từ \({\cos ^2}x < {1 \over 2}\) suy ra \({\mathop{\rm cosx}\nolimits}  < {{\sqrt 2 } \over 2} = \cos {45^0} \Rightarrow x > {45^0}  \).

    Vậy cung BM lớn hơn cung AM

    Xemloigiai.com

    SBT Toán 12 Nâng cao

    Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

    PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất