Bài 34 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và \(SA \bot \left( {ABC} \right),SC = a.\) Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) để thể tích khối chóp là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có \(BC \bot AC\) nên \(BC \bot SC\) (định lý ba đường vuông góc), suy ra góc \(SCA\) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Đặt \(\widehat {SCA} = x\left( {0 < x < {\pi  \over 2}} \right)\)

Khi đó :

\(\eqalign{  & SA = a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},AC = acosx.  \cr  & {V_{S.ABC}} = {{a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over 3}.{{{a^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \over 2} = {{{a^3}} \over 6}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}x}.co{s^2}x. \cr} \)

Xét hàm số \(y\left( x \right) = \sin {\rm{x}}{\cos ^2}x.\)

Ta có :

\(\eqalign{  y'\left( x \right) &= co{s^3}x - 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} .s{\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x }}\cr&= \cos x\left( {co{s^2}x - 2 + 2co{s^2}x} \right)  \cr  &  = cosx\left( {3{{\cos }^2}x - 2} \right) \cr&= 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - \sqrt {{2 \over 3}} } \right)\left( {\cos x + \sqrt {{2 \over 3}} } \right). \cr} \)

Vì \(0 < x < {\pi  \over 2}\) nên \(\cos x\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + \sqrt {{2 \over 3}} } \right) > 0.\)

Gọi \(\alpha \) là góc sao cho \(\cos \alpha  = \sqrt {{2 \over 3}} ,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm \(y\left( x \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.{\cos ^2}x:\)

Vậy V_S.ABC đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \alpha \) với \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) và \(\cos \alpha  = \sqrt {{2 \over 3}} .\)

Xemloigiai.com

• Bài 22 trang 8 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 23 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 24 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 25 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 26 trang 9 SBT hình học 12 nâng cao
• Bài 27 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 28 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 29 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 30 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 31 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 32 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 33 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 35 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 36 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 37 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 38 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 39 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 40 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 41 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 42 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 43 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 44 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 45 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 46 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao