Bài 36 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Khối chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc \( \alpha  \) và tạo với mặt \(\left( {SAD} \right)\) góc \(\beta \). Tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết

AB là hình chiếu của SB trên \(mp\left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {SBA} = \alpha \)

Dễ thấy \(BD \bot \left( {SAD} \right)\) nên hình chiếu của SB trên \(mp\left( {SAD} \right)\) là SD \( \Rightarrow \)  \(\widehat {BSD} = \beta \)

Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có \(SB = {{BD} \over {\sin \beta }},SB = {{AB} \over {\cos \alpha }},\) suy ra

\(\eqalign{   &{{A{B^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{B{D^2}} \over {{{\sin }^2}\beta }} = {{A{B^2} - B{D^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta }} \cr&= {{{a^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta }}  \cr  &  \Rightarrow BD = {{a\sin \beta } \over {\sqrt {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr} \)

\(\eqalign{  & SD = BD\cot \beta  = {{a\cos \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }},  \cr  & SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}}  = {{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}.  \cr  &  \cr} \)

Vậy :

\(\eqalign{  & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA  \cr  &  = {1 \over 3}.a.{{a\sin \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}.{{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}  \cr  &  = {{{a^3}\sin \alpha .\sin \beta } \over {3\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } \right)}}. \cr} \)

Xemloigiai.com

• Bài 22 trang 8 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 23 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 24 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 25 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 26 trang 9 SBT hình học 12 nâng cao
• Bài 27 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 28 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 29 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 30 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 31 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 32 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 33 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 34 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 35 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 37 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 38 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 39 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 40 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 41 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 42 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 43 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 44 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 45 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
• Bài 46 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao