Bài 3.30 trang 115 SBT hình học 12

Giải bài 3.30 trang 115 sách bài tập hình học 12. Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

    Đề bài

    Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    - Lập phương trình mặt chắn đi qua các điểm \(A,B,C\).

    - Viết công thức tính thể tích tứ diện và đánh giá GTNN.

    Lời giải chi tiết

    Gọi giao điểm của \((\alpha )\) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)

    (a, b, c > 0).

    Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\left( \alpha  \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) (1)

    Do \((\alpha )\)  đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\)

    Thể tích của tứ diện OABC là  \(V = \dfrac{1}{3}B.h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}OA.OB.OC\) \( = \dfrac{1}{6}abc\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  \(1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{6}{{abc}}}} \) \( \Rightarrow  1 \ge \dfrac{{27.6}}{{abc}}\)

    \( \Rightarrow    abc \ge 27.6 \Rightarrow    V \ge 27\)

    Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất  \(  \Leftrightarrow  V = 27 \Leftrightarrow   \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c} = \dfrac{1}{3} \) \(\Leftrightarrow   \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\)

    Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là:

    \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1\) hay \(6x + 3y + 2z – 18 = 0\).

    Xemloigiai.com

    SBT Toán lớp 12

    Giải sách bài tập toán hình học và giải tích lớp 12. Giải chi tiết tất cả câu hỏi trong các chương và bài chi tiết trong SBT hình học và giải tích toán 12 cơ bản với cách giải nhanh và ngắn gọn nhất

    GIẢI TÍCH SBT 12

    HÌNH HỌC SBT 12

    Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

    Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số Logarit

    Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

    Chương 4: Số phức

    Chương 1: Khối đa diện

    Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

    Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

    Ôn tập cuối năm Hình học 12