Bài 30 trang 170 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh là \(a,\) ngoại tiếp một đường tròn.

Cho hình quay một vòng xung quanh đường cao \(AH\) của tam giác đó, (xem hình 104), ta được một hình nón ngoại tiếp hình cầu. Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu.

Lời giải chi tiết

Gọi \(h\) là đường cao của tam giác đều, \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Trong \(\Delta  AHC\) có \(\widehat {AHC} = 90^o; \widehat C = 60^o\).

\(\displaystyle AH = AC.\sin C = a.\sin {60^{^0}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\Delta  ABC\) đều, tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác đồng thời là giao ba đường trung tuyến, giao ba đường trung trực nên ta có \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

\(\displaystyle r = OH={1 \over 3}AH = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)

Thể tích hình nón là: 

\(\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}\pi .B{H^2}.AH \)\(\,\displaystyle = {1 \over 3}\pi {\left( {{a \over 2}} \right)^2}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}\) (đơn vị thể tích)

Thể tích hình cầu là:

\(\displaystyle {V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi .{\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^3} \)\(\,\displaystyle = {4 \over 3}\pi .{{3{a^3}\sqrt 3 } \over {216}} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\) (đơn vị thể tích).

Phần thể tích hình nón nằm ngoài hình cầu là:

\(V=V_1-V_2=\displaystyle {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}} - {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {54}} \)\(\,\displaystyle = {{9\pi {a^3}\sqrt 3  - 4\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {216}} = {{5\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {216}}\) (đơn vị thể tích)

Xemloigiai.com

• Bài 27 trang 169 SBT toán 9 tập 2
• Bài 28 trang 170 SBT toán 9 tập 2
• Bài 29 trang 170 SBT toán 9 tập 2
• Bài 31 trang 171 SBT toán 9 tập 2
• Bài 32 trang 171 SBT toán 9 tập 2
• Bài 33 trang 171 SBT toán 9 tập 2
• Bài 34 trang 171 SBT toán 9 tập 2
• Bài 35 trang 172 SBT toán 9 tập 2
• Bài 36 trang 172 SBT toán 9 tập 2
• Bài 37 trang 173 SBT toán 9 tập 2
• Bài 38 trang 173 SBT toán 9 tập 2
• Bài 39 trang 173 SBT toán 9 tập 2
• Bài 40 trang 173 SBT toán 9 tập 2
• Bài 41 trang 173 SBT toán 9 tập 2