Bài 24 trang 29 SKG Hình học 12 Nâng cao

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.

    Đề bài

    Khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(AM\), song song với \(BD\) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.

    Lời giải chi tiết

    Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\).

    Gọi \(G\) là giao điểm của \(SO\) và \(AM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\) nên \({{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\).
    Mặt phẳng \((P)\) song song với \(BD\) nên \((P)\) cắt mp \((SBD)\) theo giao tuyến \(B’D’\) đi qua \(G\) và \(B’D’ // BD\), trong đó \(B’, D’\) lần lượt trên \(SB\) và \(SD\).

    Có \(B’D’ // BD\) nên \({{SB'} \over {SB}} = {{SD'} \over {SD}} = {{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\)
    Mặt phẳng \((P)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần: Khối chóp \(S.AB’MD’\) và khối đa diện \(ABCDB’MD’\).

    \({{{V_{S.AB'D'}}} \over {{V_{S.ABD}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {2 \over 3}.{2 \over 3} = {4 \over 9} \) \(\Rightarrow {{{V_{S.AB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9}\)
    (Vì \({V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABD}}\))
    \({{{V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.CBD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3}.{2 \over 3} = {2 \over 9}\) \( \Rightarrow {{{V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 \over 9}\)
    Từ đó suy ra \({{{V_{S.AB'MD'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.AB'D'}} + {V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} \) \(= {2 \over 9} + {1 \over 9} = {1 \over 3}\)

    \(\begin{array}{l}
    \Rightarrow {V_{ABCDB'MD'}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.AB'MD'}}\\
    = {V_{S.ABCD}} - \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}}
    \end{array}\)


    Vậy \({{{V_{S.AB'MD'}}} \over {{V_{ABCDB'MD'}}}}  = \frac{{\frac{2}{3}{V_{S.ABCD}}}}{{\frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{2}\)

    Cách khác:

    Ta có: \(\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\)  (1)

    Lại có: GB’ = GD’

    => SΔAB'M=SΔAD'M    (2)

    Từ (1) và (2) suy ra:

    Xemloigiai.com

    SGK Toán 12 Nâng cao

    Giải bài tập toán lớp 12 Nâng cao như là cuốn để học tốt Toán lớp 12 Nâng cao. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12 Nâng cao, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia

    GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

    HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 12 NÂNG CAO

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

    CHƯƠNG II. MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 12 NÂNG CAO