Bài 24 trang 29 SKG Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(AM\), song song với \(BD\) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\).

Gọi \(G\) là giao điểm của \(SO\) và \(AM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\) nên \({{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\).
Mặt phẳng \((P)\) song song với \(BD\) nên \((P)\) cắt mp \((SBD)\) theo giao tuyến \(B’D’\) đi qua \(G\) và \(B’D’ // BD\), trong đó \(B’, D’\) lần lượt trên \(SB\) và \(SD\).

Có \(B’D’ // BD\) nên \({{SB'} \over {SB}} = {{SD'} \over {SD}} = {{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\)
Mặt phẳng \((P)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần: Khối chóp \(S.AB’MD’\) và khối đa diện \(ABCDB’MD’\).

\({{{V_{S.AB'D'}}} \over {{V_{S.ABD}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {2 \over 3}.{2 \over 3} = {4 \over 9} \) \(\Rightarrow {{{V_{S.AB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9}\)
(Vì \({V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABD}}\))
\({{{V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.CBD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3}.{2 \over 3} = {2 \over 9}\) \( \Rightarrow {{{V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 \over 9}\)
Từ đó suy ra \({{{V_{S.AB'MD'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.AB'D'}} + {V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} \) \(= {2 \over 9} + {1 \over 9} = {1 \over 3}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {V_{ABCDB'MD'}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.AB'MD'}}\\
= {V_{S.ABCD}} - \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}}
\end{array}\)

Vậy \({{{V_{S.AB'MD'}}} \over {{V_{ABCDB'MD'}}}}  = \frac{{\frac{2}{3}{V_{S.ABCD}}}}{{\frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{2}\)

Cách khác:

Ta có: \(\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\)  (1)

Lại có: GB’ = GD’

=> S_ΔAB'M=S_ΔAD'M    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Xemloigiai.com

• Bài 15 trang 28 Hình học 12 Nâng cao
• Bài 16 trang 28 SKG Hình học 12 Nâng cao
• Bài 17 trang 28 Hình học 12 Nâng cao
• Bài 18 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 19 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 21 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 23 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 25 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao