Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).
LG a
a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).
Phương pháp giải:
Gọi \(\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} \) lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right);\,\,\left( \beta \right)\), chứng minh hai vector \({\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} }\) không cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_1} = (4; 1; 2)\)
Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_2} = (2; -2; 1)\)
Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1} \) và \(\overrightarrow {n_2} \) không cùng phương.
Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.
LG b
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).
Phương pháp giải:
Tìm một điểm thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \matrix{4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\), điểm đó thuộc d.
\(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right]\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).
Viết phương trình tham số của đường thẳng biết một điểm đi qua và VTCP.
Lời giải chi tiết:
\((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).
Xét hệ\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Cho \(x = 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 2z = - 5\\ - 2y + z = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = - 3\end{array} \right.\) nên \({M_0}\left( {1;1; - 3} \right) \in \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\) hay \({M_0} \in d\)
Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = - 3 - 2t \hfill \cr} \right.\)
Cách 2:
Phương trình đt d là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + y + 2z + 1 = 0\\
4x - 4y + 2z + 6 = 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + y + 2z + 1 - (4x - 4y + 2z + 6) = 0\\
4x + y + 2z + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5y - 5 = 0\\
4x + y + 2z + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
4x + 1 + 2z + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
2x + z + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Đặt x = t, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
x = t\\
2t + z + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1\\
z = - 2t - 1
\end{array} \right.\)
Vậy giao tuyến của 2 mặt phẳng có PT là
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1\\
z = - 2t - 1
\end{array} \right.\)
LG c
c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng \((α)\).
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng \((α)\).
- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của d và mặt phẳng \((α)\).
Khi đó H là trung điểm của MM', suy ra tọa độ của điểm M'.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (4; 1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 4t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Gọi \(H = \Delta \cap \left( \alpha \right)\) \( \Rightarrow H\left( {4 + 4t;2 + t;1 + 2t} \right)\).
Thay tọa độ \(H\) vào \(\left( \alpha \right)\) ta có:
\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \) \(\Rightarrow H (0; 1; -1)\)
Gọi \(M' (x; y; z)\) đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì H là trung điểm MM'
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.0 - 4 = - 4\\{y_{M'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{M'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M'\left( { - 4;0; - 3} \right)\)
LG d
d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm N trên đường thẳng \(d\).
- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với đường thẳng \(d\).
- Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của (P) và đường thẳng \(d\).
Khi đó I là trung điểm của NN', suy ra tọa độ của điểm N'.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (1; 0; -2)\).
Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:
\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)
\((P)\): \(x - 2z + 8 = 0\)
Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:
\(1+s - 2(-3-2s) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow s = -3 \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)
\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'} = 2\overrightarrow {NI} \)
\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'} = (x; y - 2; z - 4) \)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = ( - 2).2 \hfill \cr
y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr
z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)
Cách khác:
Gọi \(I\) là hình chiếu của \(N\) trên \(d\)\( \Rightarrow I\left( {1 + t;1; - 3 - 2t} \right) \in d\).
\(\overrightarrow {NI} = \left( {1 + t; - 2; - 7 - 2t} \right)\)
\(IN \bot d\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\)
\( \Leftrightarrow 1.\left( {1 + t} \right) + 0.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 7 - 2t} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 1 + t + 14 + 4t = 0\)
\( \Leftrightarrow 15 + 5t = 0 \Leftrightarrow t = - 3\)
\( \Rightarrow I\left( { - 2;1;3} \right)\)
\(N'\) đối xứng \(N\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm \(NN'\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2{x_I} - {x_N}\\{y_{N'}} = 2{y_I} - {y_N}\\{z_{N'}} = 2{z_I} - {z_N}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2.\left( { - 2} \right) - 0 = - 4\\{y_{N'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{N'}} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow N'\left( { - 4;0;2} \right)\)
Xemloigiai.com
- Bài 1 trang 99 SGK Hình học 12
- Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12
- Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12
- Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12
- Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12
- Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12
- Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12
- Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12
- Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12
- Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12
- Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12
- Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12
- Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12
- Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12
- Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12
SGK Toán lớp 12
Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day
GIẢI TÍCH 12
- CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Bài 2. Cực trị của hàm số
- Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Bài 4. Đường tiệm cận
- Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- Bài 1. Lũy thừa
- Bài 2. Hàm số lũy thừa
- Bài 3. Lôgarit
- Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
- Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
- Ôn tập Chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- Bài 1. Nguyên hàm
- Bài 2. Tích phân
- Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
- Ôn tập Chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- Bài 1. Số phức
- Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
- Bài 3. Phép chia số phức
- Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
- Ôn tập Chương IV - Số phức
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
- Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
- Ôn tập chương I - Khối đa diện
CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
- Bài 2. Phương trình mặt phẳng
- Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
- Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Ngữ Văn
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
Sinh Học
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 12
- SBT Địa lí lớp 12
- SGK Địa lí lớp 12
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 12
- SBT Lịch sử lớp 12
- SGK Lịch sử lớp 12