Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12

Giải bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần

    Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần

    LG a

    a) \(\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx\)

    Phương pháp giải:

    +) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

    +) Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân.

    +) Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {u\left( x \right)dv\left( x \right)}  = \left. {u\left( x \right).v\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)du\left( x \right).} \)

    Lời giải chi tiết:

    Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \sqrt x dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\end{array} \right..\)

    \(\begin{array}{l}
    \Rightarrow \int\limits_1^{{e^4}} {\sqrt x \ln xdx} = \left. {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\ln x} \right|_1^{{e^4}} - \int\limits_1^{{e^4}} {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}.\dfrac{1}{x}dx} \\
    = \dfrac{8}{3}{e^6} - \int\limits_1^{{e^4}} {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \dfrac{8}{3}{e^6} - \left. {\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^{{e^4}}\\
    = \dfrac{8}{3}{e^6} - \dfrac{4}{9}{e^6} + \dfrac{4}{9}= \dfrac{20}{9}{e^6}+ \dfrac{4}{9}.
    \end{array}\)

    LG b

    b) \(\displaystyle \int_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} \)

    Lời giải chi tiết:

    Ta có: 

    \(\eqalign{
    & \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {xd( - \cot x) = - x\cot x\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right.} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cot xdx} \cr 
    & = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{d\sin x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln |sinx|\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right. = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln 2 \cr} \)

    Cách trình bày khác:

    Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \cot x\end{array} \right.\)

    Khi đó \(I = \left. { - x\cot x} \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot xdx} \)\( = \dfrac{\pi }{6}.\sqrt 3  + \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} \)

    Đặt \(\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx\)

    Đổi cận \(x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)

    \( \Rightarrow I = \dfrac{\pi }{6}.\sqrt 3  + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{dt}}{t}} \) \( = \sqrt 3 .\dfrac{\pi }{6} + \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{\dfrac{1}{2}}^1 = \sqrt 3 .\dfrac{\pi }{6} - \ln \dfrac{1}{2}\)  \( = \dfrac{{\sqrt 3 \pi }}{6} + \ln 2\)

    LG c

    c) \(\int_0^\pi  {(\pi  - x)\sin {\rm{x}}dx} \)

    Lời giải chi tiết:

    Ta có: 

    \(\eqalign{
    & \int_0^\pi {(\pi - x)\sin {\rm{x}}dx} = \int\limits_0^\pi {(\pi - x)d( - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )} \cr 
    & = - (\pi - x)cosx\left| {_0^\pi } \right. + \int\limits_0^\pi {{\mathop{\rm cosxd}\nolimits} (\pi - x) = \pi - s{\rm{inx}}\left| {_0^\pi } \right.} = \pi \cr} \)

    Cách trình bày khác:

    Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \pi  - x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - dx\\v =  - \cos x\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow I = \left. { - \left( {\pi  - x} \right)\cos x} \right|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {\cos xdx} \) \( = \pi  - \left. {\sin x} \right|_0^\pi  = \pi  + 0 - 0 = \pi \)

    LG d

    d) \(\int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx\)

    Lời giải chi tiết:

    Ta có: 

    \(\eqalign{
    & \int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {(2x + 3)d( - {e^{ - x}}} ) \cr 
    & = (2x + 3){e^{ - x}}\left| {_0^{ - 1}} \right. + \int\limits_{ - 1}^e {{e^{ - x}}} .2dx = e - 3 + 2{e^{ - x}}\left| {_0^1} \right. = 3e - 5 \cr} \)

    Cách trình bày khác:

    Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v =  - {e^{ - x}}\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow I = \left. { - \left( {2x + 3} \right){e^{ - x}}} \right|_{ - 1}^0 + 2\int\limits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx} \) \( =  - 3 + e - \left. {2{e^{ - x}}} \right|_{ - 1}^0\) \( =  - 3 + e - 2 + 2e = 3e - 5\)

    Xemloigiai.com

    SGK Toán lớp 12

    Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day

    GIẢI TÍCH 12

    HÌNH HỌC 12

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

    CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Xem Thêm

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất