Bài 14 trang 197 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp nửa đường tròn đường kính \(AD.\) Hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(E .\) Kẻ \(EF\) vuông góc với \(AD.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(DE\). Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác \(ABEF, DCEF\) nội tiếp được;

b) Tia \(CA\) là tia phân giác của góc \(BCF\);

c) Tứ giác \(BCMF\) nội tiếp được.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Tứ giác \(ABEF\) có \(\widehat {ABE} + \widehat {AFE} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên tứ giác \(ABEF\) nội tiếp được.

Tứ giác \(DCEF\) có \(\widehat {DCE} + \widehat {DFE} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên tứ giác \(DCEF\) nội tiếp được.

b) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AB\))   (1)

\(\widehat {{C_2}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DCEF\))   (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\).

Vậy \(CA\) là tia phân giác của góc \(BCF\).

c) \(\Delta DEF\) vuông tại \(F\) có \(FM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(FM=MD=ME=\dfrac{1}{2}DE\).

\( \Rightarrow \Delta DMF\) cân tại \(M\).

\(\Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {MFD}\) (tính chất tam giác cân).

\(\widehat {BMF}\) là góc ngoài tại đỉnh \(M\) của \(\Delta DMF\) nên:

\(\widehat {BMF} = \widehat {{D_1}} + \widehat {MFD} = 2\widehat {{D_1}}\)    (3)

Theo câu b) ta có: \(\widehat {BCF} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 2\widehat {{D_1}}\)      (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {BMF} =\widehat {BCF}\).

Vậy \(C\) và \(M\) cùng nhìn \(BF\) dưới một góc bằng nhau nên tứ giác \(BCMF\) nội tiếp được.

Xemloigiai.com

• Bài 1 trang 195 SBT toán 9 tập 2
• Bài 2 trang 195 SBT toán 9 tập 2
• Bài 3 trang 195 SBT toán 9 tập 2
• Bài 4 trang 196 SBT toán 9 tập 2
• Bài 5 trang 196 SBT toán 9 tập 2
• Bài 6 trang 196 SBT toán 9 tập 2
• Bài 7 trang 196 SBT toán 9 tập 2
• Bài 8 trang 196 SBT toán 9 tập 2
• Bài 9 trang 196 SBT toán 9 tập 2
• Bài 10 trang 197 SBT toán 9 tập 2
• Bài 11 trang 197 SBT toán 9 tập 2
• Bài 12 trang 197 SBT toán 9 tập 2
• Bài 13 trang 197 SBT toán 9 tập 2
• Bài 15 trang 197 SBT toán 9 tập 2
• Bài 16 trang 197 SBT toán 9 tập 2
• Bài 17 trang 198 SBT toán 9 tập 2
• Bài 18 trang 198 SBT toán 9 tập 2