Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Câu hỏi khởi động
Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng \(\frac{1}{2}.\)
Chia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng \(\frac{1}{4}.\)
Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở hình 1.
Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? Vì sao?
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
Chia hình vuông cạnh a thành 4 hình vuông, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (như cách lấy ở trên) thì cạnh của hình vuông đó bằng \(\frac{a}{2}\).
=> Sau mỗi lần lấy, độ lớn của cạnh hình vuông giảm đi 2 lần
=> Sau n lần, cạnh hình vuông nhỏ thứ n giảm đi \({2^n}\) so với hình ban đầu.
=> Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n là \(\frac{1}{{{2^n}}}\)
Hoạt động
Xét mệnh đề chứa biến P(n): “\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\)” với n là số nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\) bằng bao nhiêu.
c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \({k^2} + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mệnh đề P(1) là: “\(1 = {1^2}\)”, rõ ràng mệnh đề này đúng.
b) Mệnh đề P(k) là: “\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\)”
Mệnh đề P(k) đúng thì \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\) bằng \({k^2}\)
c) Mệnh đề P(k+1) là: “\(1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\)”
Mệnh đề P(k) đúng nên ta có \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1]\\ = {k^2} + [2(k + 1) - 1] = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.
Luyện tập – vận dụng 1
Chứng minh:
a) \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} = \sqrt {n + 1} - 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
b) \(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}} = \frac{{2({n^2} + n + 1)}}{{3n(n + 1)}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1\), đúng
vì \(\left( {\sqrt 2 + \sqrt 1 } \right)\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) = 2 - 1 = 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 1 }} = \sqrt 2 - \sqrt 1 = \sqrt 2 - 1\)
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }} = \sqrt {k + 2} - 1\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \sqrt {k + 1} - 1\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }}\\ = \sqrt {k + 1} - 1 + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt {k + 1} } \right)}^2} + \sqrt {k + 1} .\sqrt {k + 2} + 1}}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }} - 1\\ = \frac{{k + 2 + \sqrt {k + 1} .\sqrt {k + 2} }}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }} - 1\\ = \frac{{\sqrt {k + 2} \left( {\sqrt {k + 2} + \sqrt {k + 1} } \right)}}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }} - 1\\ = \sqrt {k + 2} - 1\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\). Tức là:
\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} = \sqrt {n + 1} - 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Khi \(n = 2\) ta có \(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} = \frac{{2({2^2} + 2 + 1)}}{{3.2(2 + 1)}}\), đúng
vì \(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} = \frac{7}{9};\frac{{2({2^2} + 2 + 1)}}{{3.2(2 + 1)}} = \frac{{2.7}}{{3.2.3}} = \frac{7}{9}\)
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 2\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương lớn hơn 2 tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}} = \frac{{2({{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1)}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}} = \frac{{2({{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1)}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}}\\ = \frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}}\\ = \frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\frac{{[(k + 1) - 1][{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{[(k + 1) + 1][{{(k + 1)}^2} - (k + 1) + 1]}}\\ = \frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\frac{{k[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{(k + 2)({k^2} + 2k + 1 - k - 1 + 1)}}\\ = \frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\frac{{k[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{(k + 2)({k^2} + k + 1)}}\\ = \frac{{2[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2\). Tức là:
\(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}} = \frac{{2({n^2} + n + 1)}}{{3n(n + 1)}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2\)
- Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
- Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 9 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Để học tốt Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều, loạt bài giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 10.
Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
- Bài 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Chuyên đề học tập Toán 10 cánh diều
- Bài 2. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Chuyên đề học tập Toán 10 cánh diều
Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton
Lớp 10 | Các môn học Lớp 10 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 10 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 10 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
- SBT Toán 10 Nâng cao
- Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
- Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
- Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức
- SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo
- SBT Toán 10 - Kết nối tri thức
- SGK Toán 10 - Cánh diều
- SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo
- SGK Toán 10 - Kết nối tri thức
Vật Lý
- SBT Vật lí 10 - Chân trời sáng tạo
- SBT Vật lí 10 - Kết nối tri thức
- SGK Vật Lí 10 - Cánh diều
- SGK Vật Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- SGK Vật Lí 10 - Kết nối tri thức
Hóa Học
- SBT Hóa học 10 Nâng cao
- Chuyên đề học tập Hóa 10 - Cánh diều
- Chuyên đề học tập Hóa 10 – Chân trời sáng tạo
- Chuyên đề học tập Hóa 10 - Kết nối tri thức
- SBT Hóa 10 - Chân trời sáng tạo
- SBT Hóa 10 - Kết nối tri thức
- SGK Hóa 10 - Cánh diều
- SGK Hóa 10 - Chân trời sáng tạo
- SGK Hóa 10 - Kết nối tri thức
Ngữ Văn
- Soạn văn 10
- SBT Ngữ văn lớp 10
- SBT Văn 10 - Cánh diều
- SBT Văn 10 - Chân trời sáng tạo
- SBT Văn 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 - Cánh Diều - chi tiết
- Soạn văn 10 - Cánh Diều - siêu ngắn
- Soạn văn 10 - Chân trời sáng tạo - chi tiết
- Soạn văn 10 - Chân trời sáng tạo - siêu ngắn
- Soạn văn 10 - Kết nối tri thức - chi tiết
- Soạn văn 10 - Kết nối tri thức - siêu ngắn
Sinh Học
- Chuyên đề học tập Sinh 10 - Chân trời sáng tạo
- Chuyên đề học tập Sinh 10 - Kết nối tri thức
- SBT Sinh lớp 10 - Cánh diều
- SBT Sinh lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- SBT Sinh lớp 10 - Kết nối tri thức
- SGK Sinh 10 - Cánh diều
- SGK Sinh 10 - Chân trời sáng tạo
- SGK Sinh 10 - Kết nối tri thức
GDCD
- SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh 10 - Cánh diều
- SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh 10 - Kết nối tri thức
- SGK Giáo dục thể chất 10 - Cánh diều
- SGK Giáo dục thể chất 10 - Kết nối tri thức
- SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật 10 - Cánh diều
- SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật 10 - Chân trời sáng tạo
- SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật 10 - Kết nối tri thức
Tin Học
Tiếng Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 10
- SBT Tiếng Anh 10 - English Discovery
- SBT Tiếng Anh 10 - Bright
- SBT Tiếng Anh 10 - iLearn Smart World
- SBT Tiếng Anh 10 - Friends Global (Chân trời sáng tạo)
- SBT Tiếng Anh 10 - Global Success (Kết nối tri thức)
- Tiếng Anh 10 - Bright
- Tiếng Anh 10 - Explore New Worlds
- Tiếng Anh 10 - English Discovery
- Tiếng Anh 10 - iLearn Smart World
- Tiếng Anh 10 - Friends Global
- Tiếng Anh 10 - Global Success
Công Nghệ
Lịch Sử & Địa Lý
- Tập bản đồ Địa lí lớp 10
- SBT Địa lí 10 - Chân trời sáng tạo
- SBT Địa lí 10 - Kết nối tri thức
- SGK Địa lí lớp 10 - Cánh Diều
- SGK Địa lí lớp 10 - Kết nối tri thức
- SGK Địa lí lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Tập bản đồ Lịch sử lớp 10
- SGK Lịch sử 10 - Cánh Diều
- SGK Lịch sử 10 - Chân trời sáng tạo
- SGK Lịch sử 10 - Kết nối tri thức