Giải bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Tìm a và b để các cực trị của hàm số:

    Đề bài

    Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số

    \(y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\)

    đều là những số dương và \(x_{0}=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.

    Phương pháp giải - Xem chi tiết

    - Hàm số đã cho đạt cực đại tại \({x_0} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( x_0 \right) = 0\\y''\left( x_0 \right) < 0\end{array} \right.\), từ đó tìm \(a\).

    - Thay \(a\) vừa tìm được ở trên vào hàm số.

    Tìm \(b\) dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \( \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0\).

    Lời giải chi tiết

    Ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\), \(y'' = 10{a^2}x + 4a\).

    Hàm số đã cho đạt cực đại tại \({x_0} =  - \dfrac{5}{9}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 0\\y''\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left( { - \dfrac{5}{9}} \right)^2} + 4a.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) - 9 = 0\\10{a^2}.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) + 4a < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a =  - \dfrac{9}{5}\\a < 0 \ {hoặc}\ a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a =  - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.\)

    Ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\) có \(\Delta ' = 49{a^2} > 0\) với \(a \ne 0\) nên phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt\({x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} =  - \dfrac{9}{{5a}}\).

    Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \( \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0\).

    Với \(a = \dfrac{{81}}{{25}}\) thì \({x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} =  - \dfrac{5}{9}\).

    Do đó \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)\) \( = \dfrac{5}{3}.{\left( {\dfrac{{81}}{{25}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^2} \)\(- 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0\)

    \( \Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}\)

    Với \(a =  - \dfrac{9}{5}\) thì \({x_1} =  - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1\).

    Do đó \({y_{CT}} = y\left( 1 \right)\) \( = \dfrac{5}{3}.{\left( { - \dfrac{9}{5}} \right)^2}{.1^3} + 2.\left( { - \dfrac{9}{5}} \right){.1^2} \)\(- 9.1 + b > 0\)

    \( \Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}\).

    Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).

    Xemloigiai.com

    SGK Toán lớp 12

    Giải bài tập toán lớp 12 như là cuốn để học tốt Toán lớp 12. Tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích và hình học SGK Toán lớp 12, giúp ôn luyện thi THPT Quốc gia. Giai toan 12 xem mục lục giai toan lop 12 sach giao khoa duoi day

    GIẢI TÍCH 12

    HÌNH HỌC 12

    CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

    CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

    CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

    CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

    CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

    CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

    Xem Thêm

    Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

    Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2025 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.

    Toán Học

    Vật Lý

    Hóa Học

    Ngữ Văn

    Sinh Học

    GDCD

    Tin Học

    Tiếng Anh

    Công Nghệ

    Lịch Sử & Địa Lý

    Tác giả & Tác phẩm

    Đọc nhiều nhất