Câu 16 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau và vuông góc với nhau. (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆’ và vuông góc với ∆ (A ≠ I). Hai điểm B, C thay đổi trên ∆’ sao cho mp(B, ∆) vuông góc với mp(C, ∆). Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\) không đổi.

b) A’B.A’C không đổi và trực tâm của tam giác ABC là điểm cố định.

c) Các điểm B’, C’ thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

Ta có \(AI \bot \left( {IBC} \right)\) nên \(\widehat {BIC}\) hoặc \({180^0} - \widehat {BIC}\) là góc giữa mp(B, ∆) và mp(C, ∆).

Theo giả thiết \(mp\left( {B,\Delta } \right) \bot mp\left( {C,\Delta } \right)\) nên \(\widehat {BIC} = {90^0}\). Như vậy tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

a) Ta có

\(\eqalign{  & A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}  \cr  &  = A{I^2} + I{B^2} + A{I^2} + I{C^2} - B{C^2}  \cr  &  = 2{\rm{A}}{I^2} \cr} \)

Điều này khẳng định \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\) không đổi.

b) Dễ thấy IA’ là đường cao của tam giác vuông IBC. Vậy \(A'B.A'C = IA{'^2}\).

Vì \(IA' \bot \Delta '\) nên IA’ là cố định, do đó A’B.A’C không đổi.

Vì IABC là tứ diện có các cạnh IA, IB, IC đôi một vuông góc nên trực tâm của tam giác ABC là hình chiếu H của điểm I trên mặt phẳng (ABC) (trùng với mặt phẳng (A, ∆’)). Vậy trực tâm H của tam giác ABC là điểm cố định.

c) Ta có B’, C’ thuộc mp(A, ∆).

\(\widehat {AB'H} = \widehat {AC'H} = {90^0}\).

Vậy B’, C’ thuộc đường tròn đường kính AH trong mp(A, ∆’). Đường tròn này cố định.

Xemloigiai.com

• Câu 1 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 2 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 3 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 4 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 5 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 6 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 7 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 8 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 9 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 10 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 11 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 12 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 13 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 14 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 15 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 17 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 18 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
• Câu 19 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao